Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{4}{x^2}\). Gọi \(A\) là điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng \(4\); \(B,C\)lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên các trục tọa độ \(Ox,Oy\). Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right),AB\) và trục hoành; \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right),AC\) và trục tung. Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng:    

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\), \(y = x\) và hai đường thẳng \(x = 2;x = 3\) bằng \(a\ln 2 + b\). Giá trị của \(a + b\) bằng

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ \(S\). Xác suất để số được chọn có tích các chữ số bằng 1400 là

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - m \cdot {\rm{ln}}x\) và \(g\left( x \right) = x + \frac{4}{x}\). Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị trên \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) là:

Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm \(B\left( {1;5} \right),C\left( {5;4} \right)\), điểm \(A\) luôn di động trên đường tròn có phương trình \({\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} = 25\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), khi đó điểm \(G\) luôn di động trên đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\). Giá trị của biểu thức \(T = a + b\) bằng:

Cho cấp số nhân \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) thoả mãn tất cả các điều kiện sau:

i. \(\frac{{{u_4}}}{{{u_1}}} > 1\)

ii. \({u_3},{u_5},{u_6}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Giá trị của biểu thức \(S = \frac{{{u_7} - {u_6}}}{{{u_5}}}\) bằng:

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\), thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\). Tính số đo góc nhị diện \(\left[ {C',AB,C} \right]\).