Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 25\). Gọi \(\left( C \right)\) là giao tuyến của \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Gọi \(M,N\) là các điểm di động trên \(\left( C \right)\) thỏa \(MN = 2\sqrt 5 \). Khi tứ diện \(OAMN\) có thể tích lớn nhất, tọa độ trung điểm \(E\) của \(MN\) là
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \(d\left( {A,\left( {Oxy} \right)} \right) = 3\).
Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {3;4;4} \right)\) và bán kính \(R = 5\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của I trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Ta có \(H\left( {3;4;0} \right),IH = 4\).
Đường tròn giao tuyến \(\left( C \right)\) có tâm \(H\left( {3;4;0} \right)\) và bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {25 - 16} = 3\).
\(E\) là trung điểm của \(MN\), suy ra \(ME = \frac{{MN}}{2} = \frac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \) và \(HE \bot MN\).
Ta có \(OH = 5,HE = \sqrt {{r^2} - M{E^2}} = 2\).
Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) trên \(MN\). Khi đó:
\({S_{OMN}} = \frac{1}{2}OK \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt 5 \cdot OK \le \sqrt 5 \cdot OE \le \sqrt 5 \left( {OH + HE} \right) = \sqrt 5 \cdot \left( {5 + 2} \right) = 7\sqrt 5 \)
Nên \({V_{OAMN}} = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {Oxy} \right)} \right) \cdot {S_{OMN}} \le \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 7\sqrt 5 = 7\sqrt 5 \).
Do đó, giá trị lớn nhất của \({V_{OAMN}}\) là \(7\sqrt 5 \), đạt được khi \(K \equiv E\) hay \(H\) nằm giữa \(O\) và \(E\).
Khi đó \(\overrightarrow {OE} = \frac{7}{5}\overrightarrow {OH} \Rightarrow \overrightarrow {OE} = \left( {\frac{{21}}{5};\frac{{28}}{5};0} \right) \Rightarrow E\left( {\frac{{21}}{5};\frac{{28}}{5};0} \right)\). Chọn D.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(2\).
Lời giải
Diện tích hình phẳng cần tìm là
\(S = \int\limits_2^3 {\left| {\frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}} - x} \right|dx} \)\( = \int\limits_2^3 {\left| {\frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}} \right|dx} \)\( = \int\limits_2^3 {\frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}dx} \)\( = \int\limits_2^3 {\frac{{ - x + 1 + 2}}{{x - 1}}dx} \)\( = - \int\limits_2^3 {dx} + \int\limits_2^3 {\frac{2}{{x - 1}}dx} \)
\( = \left. { - x} \right|_2^3 + \left. {\left( {2\ln \left| {x - 1} \right|} \right)} \right|_2^3\)\( = - 1 + 2\ln 2\).
Suy ra \(a = 2;b = - 1\). Do đó \(a + b = 1\). Chọn B.
Câu 2
A. \(\overrightarrow {B'C} \).
Lời giải
Có \(\overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)\( = \overrightarrow {AA'} + \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BC'} \). Chọn B.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(30^\circ \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(1\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\frac{1}{{500}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập