Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\), \(\widehat {A'AB} = 120^\circ \), \(\widehat {A'AC} = 60^\circ \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(N\) là điểm trên cạnh \(BB'\) sao cho \(BN = \frac{2}{3}BB'\). Tính \(\overrightarrow {A'M} \cdot \overrightarrow {C'N} .\)

Ta có \(\overrightarrow {A'M}  = \overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AA'}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) - \overrightarrow {AA'} \).

Có \(\overrightarrow {C'N}  = \overrightarrow {C'B'}  + \overrightarrow {B'N}  = \overrightarrow {CB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {B'B} \)\( = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \).

Suy ra \(\overrightarrow {A'M}  \cdot \overrightarrow {C'N}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AA'} } \right)\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {AC}  + \frac{1}{3}{\overrightarrow {AA'} ^2}\)

\[ = \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{7}{6}\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \cos 120^\circ  - \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{5}{6}\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \cos 60^\circ  + \frac{{{a^2}}}{3}\]

\[ = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{7{a^2}}}{{12}} - \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{5{a^2}}}{{12}} + \frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{4{a^2}}}{3}\]. Chọn A.