Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 30

Cho phương trình \({\rm{log}}_3^2x + 3m{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}3x + 2{m^2} - 2m - 1 = 0\). Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} \ge \frac{{10}}{3}\). Tính tổng giá trị các phần tử của \(S\).

Tính hết năm 2022 diện tích rừng của thành phố \(X\) là 140600 ha, tỷ lệ che phủ rừng trên địa bàn tỉnh đạt \(39,8{\rm{\% }}\). Trong năm 2022 thành phố X trồng mới được 1000 ha. Giả sử diện tích rừng trồng mới của thành phố mỗi năm tiếp theo đều tăng \(6{\rm{\% }}\) so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước. Năm nào là năm đầu tiên tỉnh có diện tích rừng đạt tỷ lệ che phủ \(45{\rm{\% }}\)?

Biết rằng các hàm số \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {x + m} \right);y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}\left( {x + n} \right);y = {c^{x + p}}\) có đồ thị hàm số lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)\) như hình vẽ dưới đây.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SA = a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\). Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng

Công thức \(h = - 19,4{\rm{log}}\frac{P}{{{P_0}}}\) là mô hình đơn giản để tính độ cao so với mặt nước biển của một vị trí trong không trung (đơn vị km) theo áp suất không khí \(P\) tại điểm đó và áp suất \({P_0}\) của không khí tại mặt nước biển (đơn vị áp suất \(Pa\)). Nếu áp suất không khí tại điểm A bằng \(\frac{3}{7}\) lần áp suất không khí tại điểm B thì điểm nào có độ cao lớn hơn và lớn hơn khoảng bao nhiêu km?

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,AB = BC = 2a\), hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), mặt phẳng qua \(SM\) và song song với \(BC\), cắt \(AC\) tại \(N\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SN\) là

Người ta đúc một khối bê tông có dạng khối chóp \(ABCD.MNPQ\) cụt tứ giác đều như hình. Cạnh đáy dưới dài \(5m\), cạnh đáy trên dài \(2m\), cạnh bên dài \(3m\). Biết rằng khối bê tông được đúc với giá tiền là 1500000 đồng/m³. Tính số tiền để đúc khối bê tông theo đơn vị đồng (làm tròn đến hàng nghìn).

Trong tuần lễ bảo vệ môi trường, các em học sinh khối 12 của trường X đã tiến hành thu nhặt vỏ chai nhựa để tái chế. Nhà trường thống kê kết quả thu nhặt vỏ chai nhựa của các em học sinh theo bảng số liệu sau:

Tính số vỏ chai nhựa trung bình mà mỗi học sinh khối 12 của trường X đã thu nhặt được.

Trong một tiết học môn Thể chất, thầy giáo cho các bạn tiến hành chạy nước rút 60 m. Bảng dưới đây ghi lại thông tin về thời gian chạy của các bạn theo từng mốc như sau:

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 6} - 3}}{{{x^2} - 2x - 3}}\) là

Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 2026 + 2x - 2{e^x}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng

Biết rằng hàm số \(y = \left( {x - m} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + m - 2} \right)\) (\(m\) là tham số khác 1) có hai điểm cực trị. Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số này bằng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R};c \ne 0;d \ne 0} \right)\) có đồ thị (\(C\)) và đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây

Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\). Xét các mệnh đề sau đây

1) Hàm số có 3 điểm cực trị.

2) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right);\left( {1; + \infty } \right)\).

3) Hàm số có 1 điểm cực trị.

4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right);\left( {0;1} \right)\).

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên?

Một người đàn ông chèo thuyền ngược dòng nước một quãng đường dài 15 km. Tốc độ của dòng nước là \(3{\rm{\;km/h}}\). Nếu vận tốc của thuyền khi nước đứng yên là \(v\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) thì năng lượng tiêu hao của người của người đàn ông trong \(t\) giờ được cho bởi công thức \(E\left( v \right) = c{v^3}t\) (trong đó \(c\) là hằng số dương, \(E\) được tính bằng đơn vị Jun). Người đàn ông chèo thuyền ngược dòng quãng đường 15 km trong khoảng thời gian \(t\) với vận tốc bao nhiêu để năng lượng tiêu hao là thấp nhất?

Người ta làm một cái lu đựng nước bằng cách cắt bỏ 2 chỏm của một khối cầu có bán kính 5 dm bằng 2 mặt phẳng vuông góc với đường kính và cách tâm khối cầu 3 dm. Tính thể tích của chiếc lu.

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(E\left( {2;1;3} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 36\). Gọi \({\rm{\Delta }}\) là đường thẳng đi qua \(E\), nằm trong \(\left( P \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của \({\rm{\Delta }}\) là

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2;1;0} \right)\),\(C\left( { - 1;1;1} \right),D\left( {2;3;1} \right)\). Gọi \(\left( L \right)\) là tập hợp tất cả các điểm \(M\) trong không gian thỏa mãn đẳng thức \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 100\). Biết rằng \(\left( L \right)\) là một mặt cầu, mặt cầu đó có bán kính \(R\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 3z = 0,\left( Q \right):x + 4z - 1 = 0\). Giao tuyến của hai mặt phẳng trên có một vectơ chỉ phương là

Một trạm phát tín hiệu chỉ phát hai loại tín hiệu X và Y với xác suất tương ứng là 0,72 và 0,28. Do có nhiễu trên đường truyền tín hiệu nên khả năng tín hiệu X bị méo thành tín hiệu Y là \(\frac{1}{6}\), và khả năng tín hiệu Y bị méo thành tín hiệu X là \(\frac{1}{4}\). Biết rằng tín hiệu thu được là tín hiệu đúng so với tín hiệu phát, xác suất để tín hiệu đó là tín hiệu Y là bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1; - 2;1} \right)\); bán kính \(R = 4\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(d\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất. Hỏi trong các điểm sau điểm nào có khoảng cách đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) lớn nhất.

Lớp 10A có 44 học sinh, gồm 24 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Vào đầu năm học giáo viên chủ nhiệm chọn một bạn làm lớp trưởng, sau đó chọn một bạn làm lớp phó. Xác suất bạn lớp phó là nữ bằng

Mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của một số nhân viên của công ty (đơn vị: triệu đồng) được cho trong bảng dưới đây

 Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\), \(\widehat {A'AB} = 120^\circ \), \(\widehat {A'AC} = 60^\circ \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(N\) là điểm trên cạnh \(BB'\) sao cho \(BN = \frac{2}{3}BB'\). Tính \(\overrightarrow {A'M} \cdot \overrightarrow {C'N} .\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ và \(f\left( x \right) = {x^2}\) với mọi \(x \le 0\). Giá trị của \(f\left( 2 \right)\) bằng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow m = \left( {1;1;4} \right),\overrightarrow n = \left( {4;1;1} \right)\). Vectơ nào dưới đây vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow m \) và \(\overrightarrow n \).

Một đa giác đều có 20 đỉnh, tất cả các cạnh của đa giác sơn màu xanh và tất cả các đường chéo của đa giác đó sơn màu đỏ. Gọi X là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác đều trên. Người ta chọn ngẫu nhiên từ X một tam giác. Xác suất để chọn được tam giác có ba cạnh cùng màu là \(\frac{a}{b}\left( {a \in \mathbb{N},b \in {\mathbb{N}^*}} \right)\), \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khi đó \(a + b\) bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(C\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AC} = \left( {3;3;0} \right)\).

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho phương trình \(\sqrt {3{x^2} - mx} = x - 3\) có đúng 1 nghiệm trong đoạn \(\left[ {2;5} \right]\)?

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {2;1} \right),B\left( {1; - 1} \right),C\left( { - 2;3} \right)\). Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A,B,C\).

Một nhóm học sinh gồm 6 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 13 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ?