Cho phương trình \({\rm{log}}_3^2x + 3m{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}3x + 2{m^2} - 2m - 1 = 0\). Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} \ge \frac{{10}}{3}\). Tính tổng giá trị các phần tử của \(S\).

Ta có \(n\left( X \right) = C_{20}^3 = 1140\).

Dễ thấy không thể có tam giác nào có 3 cạnh đều là cạnh của đa giác đều ban đầu.

Gọi \({A_k}\) là biến cố “Tam giác được chọn có \(k\) cạnh màu xanh”.

TH1: Tam giác có 2 cạnh màu xanh.

Để được tam giác như thế thì 2 cạnh màu xanh là hai cạnh của đa giác. Khi đó ta cần chọn 3 đỉnh liên tiếp của đa giác. Do đó \(n\left( {{A_2}} \right) = 20\).

TH2: Tam giác có 1 cạnh màu xanh.

Để được tam giác như thế thì cần chọn 2 đỉnh liên tiếp của đa giác, đỉnh còn lại của tam giác không kề với 2 đỉnh kia.

Chọn 2 đỉnh liên tiếp, có 20 cách chọn.

Chọn đỉnh còn lại, bỏ 2 đỉnh đã chọn và 2 đỉnh kề với 2 đỉnh đó, có 16 cách chọn.

Do đó \(n\left( {{A_1}} \right) = 20 \cdot 16 = 320\).

Suy ra \(n\left( {{A_0}} \right) = 1140 - 20 - 320 = 800\).

Xác suất cần tìm là \(P\left( {{A_0}} \right) = \frac{{800}}{{1140}} = \frac{{40}}{{57}}\). Suy ra \(a = 40;b = 57\).

Vậy \(a + b = 40 + 57 = 97\). Chọn A.

Điều kiện xác định của phương trình: \(3{x^2} - mx \ge 0\).

Ta biến đổi phương trình đã cho:

\(\sqrt {3{x^2} - mx}  = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3 \ge 0}\\{3{x^2} - mx = {{\left( {x - 3} \right)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 3}\\{2{x^2} - \left( {m - 6} \right)x - 9 = 0\,\,(2)}\end{array}} \right.} \right.\)

Phương trình (2) có \(ac =  - 18 < 0\), do đó phương trình này có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < 0 < {x_2}\).

Khi đó, ta có bảng xét dấu của hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} - \left( {m - 6} \right)x - 9\) :

Mặt khác, do điều kiện \(x \ge 3\), ta thấy chỉ có duy nhất \({x_2}\) mới có cơ hội trở thành nghiệm của phương trình ban đầu.

Khi đó, để \({x_2}\) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho trong \(\left[ {2;5} \right]\) thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_2} \ge 3}\\{{x_2} \in \left[ {2;5} \right]}\end{array} \Leftrightarrow {x_2} \in \left[ {3;5} \right] \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( 3 \right) \le 0}\\{f\left( 5 \right) \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9 - 3\left( {m - 6} \right) \le 0}\\{41 - 5\left( {m - 6} \right) \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 9}\\{m \le \frac{{71}}{5}}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\).

Do \(m\) nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ {9;10;11;12;13;14} \right\}\).

Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.