(0,5 điểm) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để giá trị của đa thức \(A\left( x \right) = 6{x^3} + 15{x^2} - 4x - 8\) chia hết cho giá trị của đa thức \(B\left( x \right) = 2x + 5\).

(1,0 điểm) Bạn An tham gia trò chơi rút tiền lì xì. Có tất cả 5 bao lì xì bên ngoài giống hệt nhau, bên trong mỗi bao có 1 tờ tiền mệnh giá là \(20\,\,000\) đồng; \(50\,\,000\) đồng; \(100\,\,000\) đồng; \(200\,\,000\) đồng; \(500\,\,000\) đồng. Bạn An rút ngẫu nhiên 1 lần và nhận được số tiền trong bao lì xì tương ứng. Xét các biến cố sau:

A: “Bạn An nhận được tiền lì xì \(1\,\,000\,\,000\) đồng”;

B: “Bạn An nhận được tiền lì xì không nhiều hơn \(500\,\,000\) đồng”.

C: “Bạn An nhận được tiền lì xì \(200\,\,000\) đồng”.

D: “Bạn An nhận được tiền lì xì nhiều hơn \(100\,\,000\) đồng”.

(a) Trong các biến cố trên, hãy chỉ ra biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố nào là biến cố không thể.

(b) Tính xác suất của mỗi biến cố ngẫu nhiên trong các biến cố đã cho.

(2,5 điểm) Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn. Các điểm \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của cạnh \[BC,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}AC\]. Gọi \(O\) là giao điểm các đường trung trực của tam giác \[ABC\]. Trên tia đối của tia \[MO\] lấy điểm \(D\) sao cho \[MD = MO\]. Trên tia đối của tia \[NO\] lấy điểm \(F\) sao cho \[NF = NO\]. Trên tia đối của tia \[PO\] lấy điểm \(E\) sao cho \[PE = PO\].

(a) Chứng minh \(\Delta ANO = \Delta BNF\), từ đó suy ra \[AO = BF\] và \[AO\,{\rm{//}}\,BF\].

(b) Chứng minh hình lục giác \[AFBDCE\] có 6 cạnh bằng nhau.

(c) Chứng minh \(\Delta ABC{\rm{ = }}\Delta DEF\).

Một hình lập phương khi tăng độ dài cạnh của nó thêm \(2\,\,{\rm{cm}}\) thì thể tích của nó bằng \(216\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\). Độ dài cạnh của hình lập phương đó lúc đầu là

(2,0 điểm) Cho hai đa thức:

\(A\left( x \right) = - {x^4} - {x^3} + 2{x^2} + 2{x^3} - x - 3\);

\(B\left( x \right) = {x^4} + 2{x^3} - 2x + 12 + 3{x^2} - {x^3} - {x^4}\).

(a) Thu gọn và sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần của biến của hai đa thức trên.

(b) Xác định bậc và hệ số tự do của đa thức \(B\left( x \right)\).

(c) Tính \(M\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\).

Tìm nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) biết: \(N\left( x \right) - \left( {{x^4} + 15} \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\).

Trong các bộ ba độ dài đoạn thẳng dưới đây, bộ ba nào có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác?

(1,0 điểm) Tìm \(x\), biết:

(a) \(\frac{{0,25}}{{x + 2}} = \frac{{x + 2}}{4}\) (với \(x \ne - 2\));

(b) \(\left( {42{x^3} - 12x} \right):\left( { - 6x} \right) + 7x\left( {x + 2} \right) = 8\).