(0,5 điểm) Cho đa thức \(A\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\). Biết \(A\left( x \right)\) nhận \( - 1\) làm nghiệm và \(A\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - 1\). Chứng minh \(a\) và \(c\) là hai số đối nhau.

(2,5 điểm) Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] \(\left( {AB < AC} \right)\). Trên tia đối của tia \[AB\] lấy điểm \[D\] sao cho \[AD = AB\].

(a) Chứng minh rằng \[\Delta CBD\] là tam giác cân.

(b) Gọi \[M\] là trung điểm của \[CD\], đường thẳng qua \[D\] và song song với \[BC\] cắt đường thẳng \[BM\] tại \[E\]. Chứng minh rằng \[BC = DE\] và \[BC + BD > BE\].

(c) Gọi \[G\] là giao điểm của \[AE\] và \[DM\]. Chứng minh rằng \[DC = 6GM\].

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), có \(AK\) là đường phân giác (\(K\) thuộc cạnh \(BC\)). Nhận định nào sau đây là sai?

(1,0 điểm) Danh sách đội dự thi trực tuyến về “An toàn giao thông” của học sinh lớp \(7A\) được đánh số thứ tự từ 1 đến 25, trong đó bạn Ngọc có số thứ tự là 15. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong đội đó. Xét các biến cố sau:

A: “Bạn Ngọc được chọn”.

B: “Bạn được chọn có số thứ tự nhỏ hơn 2 lần số thứ tự của bạn Ngọc”.

C: “Bạn được chọn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của bạn Ngọc”.

(a) Trong các biến cố trên, hãy chỉ ra biến cố nào là biến cố ngẫu nhiên, biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố nào là biến cố không thể.

(b) Tính xác suất của biến cố ngẫu nhiên tìm được ở câu a.

(1,0 điểm) Tìm \(x\), biết:

(a) \(\frac{{2x + 7}}{3} = \frac{3}{2}\);

(b)\(5x\left( {12x - 7} \right) - \left( {15x + 1} \right)\left( {4x - 1} \right) = - 23\).

Một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật dài \(8,5\,\,{\rm{m}}\), rộng \(6,4\,\,{\rm{m}}\) và cao \(4\,\,{\rm{m}}\). Người ta muốn quét vôi trần nhà và bốn bức tường. Biết rằng tổng diện tích các cửa là \[10,8{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\]. Diện tích cần quét vôi là

(1,0 điểm) Ba phân xưởng in có tổng cộng có 57 máy in (có cùng công suất in) và mỗi phân xưởng được giao in một số trang in bằng nhau. Phân xưởng thứ nhất hoàn thành công việc trong 2 ngày, phân xưởng thứ hai trong 4 ngày và phân xưởng thứ ba trong 5 ngày. Hỏi mỗi phân xưởng có bao nhiêu máy in?

(2,0 điểm) Cho hai đa thức:

\(A\left( x \right) = 3{x^4} - 2{x^2} + 12 - 3{x^4} + {x^3} + 2x - 15\);

\(B\left( x \right) = - {x^3} - 5{x^4} - 2x + 3{x^2} + 2 + 5{x^4} - 12x - 3 - {x^2}\).

(a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử hai đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến.

(b) Xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức \(A\left( x \right)\).

(c) Tìm đa thức \(M\left( x \right)\) sao cho \(A\left( x \right) = M\left( x \right) - B\left( x \right)\). Tìm nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).