Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y + 2z - 1 = 0,\left( Q \right):x - z + 2 = 0\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)có dạng \(ax + by + cz - 3 = 0\) vuông góc với cả \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) đồng thời cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ bằng 3. Xác định tính đúng, sai của các khẳng định

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\).

b) \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0; - 1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {3;3;3} \right)\).

Suy ra \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right]} \right| = \sqrt {{3^2} + {3^2} + {3^2}} = 3\sqrt 3 \).

c) \(\left( \alpha \right)\) cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ bằng 3 nên \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3;0;0} \right)\).

d) \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với cả \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(x + y + z - 3\).

Suy ra \(a = 1;b = 1;c = 1\). Do đó \(a + 2b + 3c = 6\) không chia hết cho 9.