Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;\,2;\,3} \right)\), \(B\left( {5;\, - 4;\, - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(Ox\)sao cho \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 2d\left( {A,\left( P \right)} \right)\), \(\left( P \right)\) cắt \(AB\) tại \(I\left( {a;\,b;\,c} \right)\) nằm giữa \(AB\). Tính \(a + b + c\).

Trả lời: 0,58

Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) có phương trình \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1\).

Theo bất đẳng thức Bunhia-Copsky ta có:

\(\left( {{m^2} + {n^2} + {p^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} \right) \ge 9\)\( \Rightarrow \frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}} \ge \frac{9}{{{m^2} + {n^2} + {p^2}}} = 3\).

Khi đó \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} }} \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Dấu bằng xảy ra khi \(m = n = p = 1\).

Vậy khoảng cách lớn nhất từ \(O\) đến \(\left( {MNP} \right)\) bằng \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} \approx 0,58\).

Đáp án đúng là: D

Gọi \(\left( Q \right)\)là mặt phẳng cần tìm.

Theo bài \(\left( Q \right)//\left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right):\,2x - y + 3z + m = 0\,\,\left( {m \ne 5} \right)\).

Mà \(\left( Q \right)\) qua \(A \Leftrightarrow 2.0 - \left( { - 3} \right) + 3.2 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 9\).

Vậy mặt phẳng\(\left( Q \right):2x - y + 3z - 9 = 0\).