Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau

a) \(f\left( x \right) = {8^x}{.2^{1 - 2x}}\);

b) \(f\left( x \right) = {\left( {{3^x} - \frac{1}{{{3^x}}}} \right)^2}\);

c) \(f\left( x \right) = \left( {{e^{x + 1}} - \frac{e}{{{x^2}}}} \right)dx\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) \(f\left( x \right) = {8^x}{.2^{1 - 2x}} = {2^{3x}}{.2^{1 - 2x}} = {2^{1 + x}} = {2.2^x}\).

Suy ra \(\int {f\left( x \right)dx} = 2\int {{2^x}dx} = 2.\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C = \frac{{{2^{x + 1}}}}{{\ln 2}} + C\).

b) \(f\left( x \right) = {\left( {{3^x} - \frac{1}{{{3^x}}}} \right)^2} = {9^x} - 2 + {9^{ - x}}\).

Suy ra \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{9^x} - 2 + {9^{ - x}}} \right)dx} = \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} - 2x - \frac{1}{{{9^x}\ln 9}} + C = \frac{{{9^x}}}{{2\ln 3}} - 2x - \frac{1}{{{{2.9}^x}\ln 3}} + C\).

c) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{e^{x + 1}} - \frac{e}{{{x^2}}}} \right)dx} = {e^{x + 1}} + \frac{e}{x} + C\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một chiếc xe ô tô đang chạy trên đường cao tốc với vận tốc 72 km/h thì tài xế bất ngờ đạp phanh làm cho chiếc ô tô chuyển động chậm với gia tốc \(a\left( t \right) = - \frac{8}{5}t\) (m/s²), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây. Hỏi kể từ khi đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn thì ô tô di chuyển bao nhiêu mét? (Giả sử trên đường ô tô di chuyển không có gì bất thường).

Xem đáp án

Lời giải

Vận tốc của ô tô là \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( { - \frac{8}{5}t} \right)dt} = - \frac{4}{5}{t^2} + C\).

Ta có \(72\;{\rm{km/h}} = 20\;{\rm{m/s}}\).

Vì \(v\left( 0 \right) = 20\) nên \(C = 20\)\( \Rightarrow v\left( t \right) = - \frac{4}{5}{t^2} + 20\).

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 nên \( - \frac{4}{5}{t^2} + 20 = 0 \Rightarrow t = 5\).

Quãng đường cần tìm là \(s = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{4}{5}{t^2} + 20} \right)dt} = \left. {\left( { - \frac{4}{{15}}{t^3} + 20t} \right)} \right|_0^5 = \frac{{200}}{3}\) (m).

Câu 2

Cho \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\2x - 1\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {2x - 1} \right)dx} + \int\limits_1^2 {1dx} \)\( = \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \left. x \right|_1^2 = - 2 + 1 = - 1\).

Câu 3