Một chiếc đèn cói có hình như bên. Nếu cắt đèn bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng \(x\)(dm) (\(0 \le x \le 4\)) thì được thiết diện là hình tròn có bán kính \(\sqrt {4 - x} \) (dm). Tính thể tích của chiếc đèn cói.

Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Năm phải trả.

Kí hiệu \(h\left( x \right)\) là chiều cao của một cây (tính theo m) sau khi trồng \(x\) năm. Biết rằng sau một năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo cây phát triển với tốc độ \(h'\left( x \right) = \frac{1}{x}\) (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau \(x\) năm \(\left( {1 \le x \le 11} \right)\).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m.

Một chiếc xe ô tô đang chạy trên đường cao tốc với vận tốc 72 km/h thì tài xế bất ngờ đạp phanh làm cho chiếc ô tô chuyển động chậm với gia tốc \(a\left( t \right) = - \frac{8}{5}t\) (m/s²), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây. Hỏi kể từ khi đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn thì ô tô di chuyển bao nhiêu mét? (Giả sử trên đường ô tô di chuyển không có gì bất thường).

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 3,y = 0,x = 0,x = 2\) xung quanh trục \(Ox\).

Tính các tích phân sau

a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{x}dx} \);

b) \(\int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)dx} \);

c) \(\int\limits_0^{2024} {{3^x}dx} \).

Tính các tích phân sau

a) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} \);

b) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos 2x}}{{\cos x\left( {1 + \tan x} \right)}}dx} \);

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2{{\sin }^2}x + 3} \right)dx} \)