Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} dx = \int {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C\).

Một nguyên hàm \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + 2025\).

b) Có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C\).

Ta có \(F\left( 1 \right) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = \frac{3}{2} \Leftrightarrow C = 1\). Suy ra \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + 1\).

Vậy \(F\left( e \right) = \frac{{{e^2}}}{2} + 2\).

c) Theo định nghĩa nguyên hàm \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) khi và chỉ khi \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

d) Ta có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x + C\).

Đồ thị của hàm số \(F\left( x \right)\) đi qua \(M\left( {e;\frac{{{e^2}}}{2}} \right)\) nên ta có phương trình \(\frac{{{e^2}}}{2} = \frac{{{e^2}}}{2} + \ln e + C \Leftrightarrow C = - 1\).

Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x - 1\). Suy ra \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2} + \ln 1 - 1 = - \frac{1}{2}\).