Cho tam giác \[ABC\]. Ba đường trung trực của tam giác \[ABC\] cùng đi qua một điểm \[M\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MBD\) có:

\(MA = MB\) (do \(M\) là trung điểm của \(AB\));

\(\widehat {AMC} = \widehat {BMD}\) (đối đỉnh);

\(MC = MD\) (giả thiết)

Do đó \(\Delta MAC = \Delta MBD\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\).

b) Do \(\Delta MAC = \Delta MBD\) (câu a) nên \(AC = BD\) (hai cạnh tương ứng).

Xét \(\Delta BCD\) có: \[BD + BC > CD\] (bất đẳng thức tam giác)

Do đó \[AC + BC > CD\]

Mà \(CD = 2CM\) (do \(MD = MC\) nên \(M\) là trung điểm của \(CD\)).

Vậy \[AC + BC > 2CM\].

c) Xét \(\Delta ACD\) có đường trung tuyến \(AM\) và \(AK = \frac{2}{3}AM\) nên \(K\) là trọng tâm của \(\Delta ACD\)

Do đó \(CK\) là đường trung tuyến nên \(N\) là trung điểm của \(AD\).

Xét \(\Delta ABD\) có \(DM,BN\) là hai đường trung tuyến và \(DM,BN\) cắt nhau tại \(I\) nên \(I\) là trọng tâm của \(\Delta ABD\).

Do đó \(DI = \frac{2}{3}DM\)

Mà \(DM = \frac{1}{2}CD\) nên \(DI = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}CD = \frac{1}{3}CD\) hay \(CD = 3DI\).

a) \(A\left( x \right) = 2{x^4} + 3{x^2} - x + 3 - {x^2} - {x^4} - 6{x^3}\)

\( = \left( {2{x^4} - {x^4}} \right) - 6{x^3} + \left( {3{x^2} - {x^2}} \right) - x + 3\)

\( = {x^4} - 6{x^3} + 2{x^2} - x + 3\).

\(B\left( x \right) = 10{x^3} + 3 - {x^4} - 4{x^3} + 4x - 2{x^2}\)

\( = - {x^4} + \left( {10{x^3} - 4{x^3}} \right) - 2{x^2} + 4x + 3\)

\( = - {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + 4x + 3\).

b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có bậc là 4, hệ số cao nhất là \(1\).

c) Ta có \(A\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^4} - 6.{\left( { - 1} \right)^3} + 2.{\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 3\)

\( = 1 + 6 + 2 + 1 + 3 = 13\)

\(B\left( 1 \right) = - {1^4} + {6.1^3} - {2.1^2} + 4.1 + 3\)

\( = - 1 + 6 - 2 + 4 + 3 = 10\)

Do \(13 > 10\) nên \(A\left( { - 1} \right) > B\left( 1 \right)\).

d) Ta có \(A\left( x \right) = M\left( x \right) - B\left( x \right)\)

Suy ra \(M\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right)\)

\(M\left( x \right) = \left( {{x^4} - 6{x^3} + 2{x^2} - x + 3} \right) + \left( { - {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + 4x + 3} \right)\)

\[ = {x^4} - 6{x^3} + 2{x^2} - x + 3 - {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + 4x + 3\]

\[ = \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + \left( { - 6{x^3} + 6{x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( { - x + 4x} \right) + \left( {3 + 3} \right)\]

\[ = 3x + 6.\]

Để tìm nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\), ta cho \(M\left( x \right) = 0\)

Do đó \(3x + 6 = 0\), suy ra \(x = - 2\).

Vậy \(x = - 2\) là nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).