(1,0 điểm) Một hộp có \[15\] quả bóng được đánh số từ \[1\] đến \[15\], đồng thời các quả bóng từ \(1\) đến \(8\) được sơn màu đỏ, các quả bóng còn lại được sơn màu xanh; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp. Xét các biến cố sau:

A: “Quả bóng được chọn ra có màu xanh”;

B: “Quả bóng được chọn ra có màu đỏ và ghi số chẵn”.

(a) Viết tập hợp các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố trên.

(b) Tính xác suất của mỗi biến cố.

Một hộp có 15 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \(1;2;3;...;15;\) hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Xét biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia 3 dư 1”. Số kết quả thuận lợi cho biến cố đó là

Trong một tam giác, tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác là giao điểm của

Cho hình vẽ bên.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

(3,0 điểm) Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\) có đường cao \(AH\).

(a) Chứng minh \(\widehat {BAH} < \widehat {HAC}\).

(b) Trên đoạn thẳng \(HC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(HD = HB\). Chứng minh tam giác \(ABD\) là tam giác cân.

(c) Từ \(D\) kẻ \(DE \bot AC\), từ \(C\) kẻ \(CF \bot AD\). Chứng minh ba đường thẳng \(AH,DE,CF\) đồng quy.

(0,5 điểm) Cho \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) trong đó \(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\) và thỏa mãn \(b = 3a + c\). Chứng minh rằng \(f\left( 1 \right).f\left( { - 2} \right)\) là bình phương của một số nguyên.

(1,5 điểm) Cho hai đa thức:

\(A\left( x \right) = 3{x^4} - 2{x^2} + 12 - 3{x^4} + {x^3} + 2x - 15\);

\(B\left( x \right) = - {x^3} - 5{x^4} - 2x + 3{x^2} + 2 + 5{x^4} - 12x - 3 - {x^2}\).

(a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử hai đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến.

(b) Xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức \(A\left( x \right)\).

(c) Tìm đa thức \(M\left( x \right)\) sao cho \(A\left( x \right) = M\left( x \right) - B\left( x \right)\). Tìm nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).