Trong không gian $Oxyz$ cho $A(1;1;1)$ và hai đường thẳng
\[
d_1:
\begin{cases}
x=2-2t\\
y=1\\
z=-2+t
\end{cases}
\qquad
d_2:
\begin{cases}
x=5+3s\\
y=1\\
z=3-s
\end{cases}
\]
Gọi $B,C$ là các điểm lần lượt di động trên $d_1,d_2$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[
P=AB+BC+CA
\]
là:
Trong không gian $Oxyz$ cho $A(1;1;1)$ và hai đường thẳng
\[
d_1:
\begin{cases}
x=2-2t\\
y=1\\
z=-2+t
\end{cases}
\qquad
d_2:
\begin{cases}
x=5+3s\\
y=1\\
z=3-s
\end{cases}
\]
Gọi $B,C$ là các điểm lần lượt di động trên $d_1,d_2$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[
P=AB+BC+CA
\]
là:
A. \(2\sqrt[]{29}\).
B. \(\sqrt[]{29}\).
C. \(\sqrt[]{30}\).
D. \(2\sqrt[]{30}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Từ già thiết suy ra hai đường thằng \({d}_{1},{d}_{2}\) cùng nằm trong mặt phẳng \((α):y=1\) và \(A∈(α)\).
\(+{d}_{1}\) có một véc tơ chỉ phương \({⃗u}_{1}=(-2;0;1);{d}_{2}\) có một véc tơ chỉ phương \({⃗u}_{2}=(3;0;-1)\).
Do \(\left[ {⃗u}_{1},{⃗u}_{2} \right]=(0;1;0)≠⃗0\) nên \({d}_{1}\) cắt \({d}_{2}\).
Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $d_1$
\[
\Rightarrow (\beta): -2x+z+1=0.
\]
Gọi $I=(\beta)\cap d_1$, thì tọa độ của $I$ là nghiệm của hệ
\[
\left\{
\begin{aligned}
x&=2-2t\\
y&=1\\
z&=-2+t\\
-2x+z+1&=0
\end{aligned}
\right.
\Rightarrow I(0;1;-1)\Rightarrow A_1(-1;1;-3).
\]
Gọi $(\delta)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $d_2$
\[
\Rightarrow (\delta): 3x-z-2=0.
\]
Gọi $J=(\delta)\cap d_2$, thì tọa độ của $J$ là nghiệm của hệ
\[
\left\{
\begin{aligned}
x&=5+3s\\
y&=1\\
z&=3-s\\
3x-z-2&=0
\end{aligned}
\right.
\Rightarrow J(2;1;4)\Rightarrow A_2(3;1;7).
\]
Ta có
\[
P=AB+BC+CA=A_1B+BC+CA_2\ge A_1A_2.
\]
\[
\Rightarrow P \text{ đạt GTNN khi } P=A_1A_2
\Rightarrow P_{\min}=A_1A_2=2\sqrt{29}.
\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $2\sqrt{29}$.
Đáp án đúng là A
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a. Toạ độ điểm \(C(4;10;0)\).
Đúng
Sai
b. Phương trình mặt phẳng \((SBD)\) là \(\frac{x}{4}+\frac{y}{10}+\frac{z}{3,5}=1\).
Đúng
Sai
c. Toạ độ của vectơ là \((4;10;-3,5)\).
Đúng
Sai
d. Góc giữa đường thằng \(SC\) và mặt phằng ( \(SBD\) ) (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) là \({20}^{∘}\)
Đúng
Sai
Lời giải
vì nên \(C(4;10;0)\) và \(\overrightarrow{SC}=(4;10;-3,5)\).
Phương trình mặt phẳng \((SBD)\) là: \(\frac{x}{4}+\frac{y}{10}+\frac{z}{3,5}=1\).
\(⇔35x+14y+40z-140=0\)Suy ra \(⃗n=(35;14;40)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBD)\).
Khi đó, \(sin(SC,(SBD))=\frac{|⃗SC⋅⃗n|}{|⃗SC|⋅|⃗n|}=\frac{|4⋅35+10⋅14+(-3,5)⋅40|}{\sqrt[]{{4}^{2}+{10}^{2}+(-3,5{)}^{2}}⋅\sqrt[]{{35}^{2}+{14}^{2}+{40}^{2}}}=\frac{280\sqrt[]{53}}{9063}\).
Vậy góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((SBD)\) là khoảng \({13}^{∘}\).
Đáp án đúng là Đ; Đ; Đ; S
Câu 2
A. 30
B. Vô số.
C. 31
D. 29
Lời giải
Điều kiên xác định: \(x>-30\).
Đặt \(f(x)=\left. ({3}^{{x}^{2}}-{9}^{x}) \right.\left[ {log}_{2}(x+30)-5 \right]\)
Xét phương trình \(f(x)=0\)
\[
\Leftrightarrow
\begin{cases}
3^{x^2}=9^x\\
\log_2(x+30)=5
\end{cases}
\Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
x^2&=2x\\
x+30&=2^5
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
x&=0\\
x&=2 \ (\text{kép})
\end{aligned}
\right.
\]
\Leftrightarrow
\begin{cases}
3^{x^2}=9^x\\
\log_2(x+30)=5
\end{cases}
\Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
x^2&=2x\\
x+30&=2^5
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
x&=0\\
x&=2 \ (\text{kép})
\end{aligned}
\right.
\]
Ta có bảng xét dấu:
![Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn (3^x^2-9^x)[log_2}(x+30)-5]≤0 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1773136930/image12.png)
Suy ra bất phương trình \(f(x)≤0\) có tâp nghiệm là: \(S=(-30;0]∪\{2\}\)
Với \(x∈Z⇒x∈\{-29;-28;…;-2;-1;0;2\}\).
Vậy có 31 số nguyên \(x\) thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là C
Câu 3
A. \(\frac{\sqrt[]{7}}{3}\).
B. \(\frac{\sqrt[]{2}}{3}\).
C. \(\frac{1}{3}\).
D. \(\frac{2\sqrt[]{2}}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(6{a}^{3}\).
B. \(12{a}^{3}\).
C. \(2{a}^{3}\).
D. \({a}^{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. Đường thẳng \(y=x\).
B. Đường thẳng \(y=-x\).
C. Đường thằng \(x=0\)..
D. Đường thẳng \(y=-2x\)..
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập