Cho hàm số:$f\left(x\right) = {2025}^x-\frac{1}{{2025}^x}$. Giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình có nghiệm $x\in (1;9)$Đáp án:  ___

 

Đáp án đúng là "29"

Phương pháp giải

Dùng ứng dụng của hàm số suy ra phương trình có nghiệm duy nhất. Sau đó đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}3x\)

Lời giải

Ta có: \(f\left( x \right) = {2025^x} - \frac{1}{{{{2025}^x}}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = {2025^x} - {2025^{ - x}}\)

\(f'\left( x \right) = {2025^x}{\rm{ln}}2025 + {2025^{ - x}}{\rm{ln}}2025 > 0\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Do \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm lẻ trên \(\mathbb{R}\)

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}3x\), điều kiện \(t \in \left( {1;3} \right)\). Phương trình trở thành:

\(f\left( {t - m} \right) + f\left( {{t^3}} \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( {{t^3}} \right) =  - f\left( {t - m} \right) \Leftrightarrow f\left( {{t^3}} \right) = f\left( {m - t} \right)\) (vì \(y = f\left( x \right)\) là hàm lẻ trên \(\mathbb{R}\) nên ta có: \( - f\left( {t - m} \right) = f\left( {m - t} \right)\))

\( \Rightarrow {t^3} = m - t \Leftrightarrow {t^3} + t = m\)

Xét hàm số: \(g\left( t \right) = {t^3} + t\) với \(t \in \left( {1;3} \right)\), ta có: \(g'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\forall t \in \left( {1;3} \right)\). Mà \(f\left( t \right)\) liên tục trên \(\left[ {1;3} \right] \Rightarrow g\left( 1 \right) < g\left( t \right) < g\left( 3 \right)\forall t \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow 1 < g\left( t \right) < 30\forall t \in \left( {1;3} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left( {1;9} \right) \Leftrightarrow 1 < m < 30\)

\( \Rightarrow \) Giá trị nguyên lớn nhất của tham số m là 29