Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(2a\), hình chiếu vuông góc của \(S\) lên đáy là trung điểm cạnh \(AB,\widehat {ASB} = {90^ \circ }\). Khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng?

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên đáy \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot AB\)

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(S\) có \(SH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}SAB\) vuông cân tại \(S \Rightarrow SH = \frac{1}{2}AB = a\)

Gọi \(N\) là trung điểm của cạnh \(CD,HN \cap BD = \left\{ O \right\},HC \cap BD = \left\{ I \right\}\)

Ta có \(OH//BC\), theo định lý Thales \(\frac{{IH}}{{IC}} = \frac{{OH}}{{BC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{IH}}{{IC}} = \frac{1}{2}\)

Lại có

\(HC \cap \left( {SBD} \right) = \left\{ I \right\} \Rightarrow \frac{{d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{IH}}{{IC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)\)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), từ \(H\) kẻ \(HP \bot BD\) tại \(P\) (1)

Do \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot BD\) (2)

Từ (1) và (2)\( \Rightarrow BD \bot \left( {SHP} \right)\) (3). Mặt khác \(BD \subset \left( {SBD} \right)\) (4)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right) \Rightarrow \left( {SHP} \right) \bot \left( {SBD} \right)\) theo giao tuyến \(SP\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SHP} \right)\), hạ \(HQ \bot SP\) tại \(Q \Rightarrow HQ \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right) = HQ\)

Xét \(\Delta HPB\) vuông tại \(P\), có \(\sin \widehat {HBP} = \frac{{HP}}{{HB}} \Rightarrow HP = HB.{\rm{sin}}{45^ \circ } = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét \({\rm{\Delta }}SHP\) vuông tại \(H\), có đường cao \(HQ \Rightarrow HQ = \frac{{HS.HP}}{{\sqrt {H{S^2} + H{P^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right) = 2HQ = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3}\).