Cho hình tứ diện \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều có độ dài cạnh \(AB\) bằng \(a,SA \bot \left( {ABC} \right),SA = a\sqrt 2 \). Điểm \(M\) trên cạnh \(SC\) sao cho \(MC = \frac{1}{2}MS\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(AB\). Tính diện tích thiết diện của khối chóp tạo bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)?

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác định thiết diện của hình chóp sau đó tính diện tích thiết diện đó

Lời giải

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SA \bot \left( {ABC} \right)}\\{AB \subset \left( {ABC} \right)}\end{array} \Rightarrow SA \bot AB} \right.\)

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB,\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow CI \bot AB\)

Từ \(M\) kẻ \(MN//SA,N \in AC \Rightarrow MN \bot AB\)

\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAC} \right) = MN\)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(NP \bot AB,P \in AB\)

\( \Rightarrow NP \bot AB \Rightarrow NP = \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right)\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(PQ//SA \Rightarrow PQ \bot AB \Rightarrow PQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right)\)

Vậy thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (\(\alpha \)) và hình chóp \(S.ABC\) là tứ giác \(MNPQ\)

Tứ giác \(MNPQ\) có \(MN//PQ\) và \(MN \bot NP,PQ \bot NP \Rightarrow \) Tứ giác \(MNPQ\) là hình thang vuông

Áp dụng định lý Thales trong tam giác \(SAC\) có \(MN//SA\):

\(\frac{{MC}}{{SC}} = \frac{{NC}}{{NA}} = \frac{{MN}}{{SA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{1}{3}SA = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

Tương tự trong tam giác \(AIC\) có \(IC//NP\):

\(\frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{PN}}{{IC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{PN}}{{IC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow PN = \frac{2}{3}IC\)

\(IC\) là đường cao trong tam giác đều \( \Rightarrow IC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow PN = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Trong tam giác \(SAB\) có \(PQ//SA \Rightarrow \frac{{PB}}{{BA}} = \frac{{BQ}}{{SB}} = \frac{{PQ}}{{SA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{PQ}}{{SA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow PQ = \frac{1}{3}a\sqrt 2 \)

Vậy diện tích thiết diện cần tìm là:

\(S = \frac{{MN + PQ}}{2}.NP = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{3} + \frac{{a\sqrt 2 }}{3}}}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{9}\)