Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 2 \). Biết góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) bằng \({30^ \circ }\). Thể tích khối chóp đã cho bằng?

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tính thể tích thông thường

Lời giải

Gọi \(O\) là tâm của mặt đáy \(ABCD\).

Dễ dàng chứng minh được: Góc giữa \(SD\) và \(\left( {SAC} \right)\) là góc \(\widehat {OSD}\). Suy ra \(\widehat {OSD} = {30^ \circ }\).

Đặt \(BC = x(x > 0)\). Ta tính được: \(OA = OD = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\).

Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(A:SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}} = \sqrt {2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} \).

Xét \(\Delta SOD\) vuông tại \(O\)

\({\rm{tan}}\widehat {OSD} = \frac{{OD}}{{SO}} = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}:\sqrt {2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \frac{{x\sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\sqrt {2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} \)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{1}{3}\left( {2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right) \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 \). Diện tích mặt đáy \(ABCD\) là: \({S_{ABCD}} = A{B^2} = 2{a^2}\)

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .2{a^2} = \frac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).