Cho một đa giác đều có \(n\) đỉnh, với \(n\) lẻ. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều đó. Gọi \(P\) là xác suất sao cho 3 đỉnh đó tạo thành 1 tam giác tù. Biết \(P = \frac{{45}}{{62}}\). Số các ước nguyên dương của \(n\) là?

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Do \(n\) là số lẻ nên ta đặt \(n = 2k + 1\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

Số phần tử không gian mẫu \(n\left( A \right) = C_{2k + 1}^3\)

Gọi A: 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác tù

Giả sử tam giác \(ABC\) có \(\widehat A,\,\,\widehat B\) là góc nhọn còn \(\widehat C\) là góc tù.

Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh \( \Rightarrow \) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là \(2k + 1\) cách chọn

Khi đó còn lại \(2k\) đỉnh, từ điểm được chọn ta chia làm 2, mỗi bên là k đỉnh

Để tạo thành tam giác tù thì 2 đỉnh còn lại phải được chọn từ \(k\) đỉnh cùng thuộc một phía so với điểm đã chọn do đó có \(C_k^2 + C_k^2\) cách chọn

Nhưng với cách tính như vậy số tam giác được lặp lại 2 lần nên:

\(n\left( A \right) = \frac{{\left( {C_k^2 + C_k^2} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{{2!}} = C_k^2\left( {2k + 1} \right)\)

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{C_k^2\left( {2k + 1} \right)}}{{C_{2k + 1}^3}} = \frac{{45}}{{62}}\)

\( \Leftrightarrow 62\frac{{k!}}{{\left( {k - 2} \right)!.2!}}\left( {2k + 1} \right) = 45\frac{{\left( {2k + 1} \right)!}}{{\left( {2k - 2} \right)!.3!}}\)

\( \Leftrightarrow 62.\frac{{k\left( {k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{2} = 45.\frac{{2k.\left( {2k + 1} \right)\left( {2k - 1} \right)}}{6}\)

\( \Leftrightarrow 62{k^3} - 31{k^2} - 31k = 60{k^3} - 15k\)

Giải phương trình trên ta được \(k = 16\)

Vậy \(n = 33\)

\( \Rightarrow \) Các ước nguyên dương của \(n\) là \(\left\{ {1;3;11;33} \right\}\)