Trong không gian Oxyz, cho các điểm  \(A\;\left( {\;5\;;\;0\;;\;2\;} \right)\), \(B\;\left( {\;5\;;\;10\;;\;4\;} \right)\) . Các điểm  𝑀, 𝑁 di động trên mặt phẳng  (𝑂𝑥𝑦) sao cho độ dài 𝑀𝑁 bằng  2 . Tổng 𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

\[\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {{{(3\tan x + 2\cot x)}^2}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {(9{{\tan }^2}x + 12 + 4{{\cot }^2}x)} dx\]

\( = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {(9{{\tan }^2}x + 9)} dx + \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {(4 + 4{{\cot }^2}x)} dx - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {dx} \)

\[ = 9\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx + 4\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {dx} \]

\( = 9\left( {\tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{4}} \right) - 4\left( {\cot \frac{\pi }{3} - \cot \frac{\pi }{4}} \right) - \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = 9(\sqrt 3 - 1) - 4\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3} - 1} \right) - \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = - 5 + 23\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{\pi }{{12}}.\)

Vậy  𝑎 = − 5 , 𝑏 = 23 , 𝑐=− 1 .

Vậy T= a + b + c = 17

Phương pháp giải

Đọc – Tiêu đề

Giải chi tiết

Đâu trong các đáp án sau có thể là tiêu đề phù hợp nhất cho bài đọc? A. Những thay đổi trong động lực làm việc thời hiện đại

B. Sự gia tăng của làm việc từ xa và những tác động của nó

C. Tác động của công nghệ đối với thế giới công việc

D. Nền kinh tế hợp đồng ngắn hạn và tương lai của việc làm

Thông tin:

The world of work has undergone significant transformations in recent years, propelled by technological advancements, shifting demographics, and evolving societal expectations.

Tạm dịch:

Thế giới công việc đã trải qua những thay đổi đáng kể trong những năm gần đây, được thúc đẩy bởi những tiến bộ công nghệ, sự thay đổi nhân khẩu học và kỳ vọng xã hội.

Đáp án cần chọn là: A