Cho hai biểu thức \(A = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\) và \(B = \frac{3}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{2\sqrt x }}{{4 - x}}\) với \(x \ge 0, x \ne 4\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 64\).

2) Chứng minh rằng \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\).

3) Cho \(P = \frac{A}{B}\). Tìm các giá trị của \(x\) để \(P \ge \frac{2}{{x + 2}}\).

Đổi \[5h50' = \frac{{35}}{6}h.\]

Gọi thời gian công nhân thứ nhất làm một mình xong công việc là x (đơn vị: giờ, \(x > 0\)).

Thời gian công nhân thứ hai làm một mình xong công việc là \(y\)(đơn vị: giờ, \(y > 0\)).

Trong một giờ công nhân thứ nhất làm được \[\frac{1}{x}\] (công việc).

Trong một giờ công nhân thứ hai làm được \[\frac{1}{y}\] (công việc).

Vì hai công nhân làm chung công việc đó sau \[\frac{{35}}{6}h\] thì xong nên ta có phương trình \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{6}{{35}}\] (1)

Vì Sau khi làm chung 5 giờ thì người thứ nhất đi làm việc khác trong khi người thứ hai vẫn tiếp tục làm trong 2 giờ nữa mới hoàn thành xong công việc nên ta có:

phương trình \[\frac{5}{x} + \frac{7}{y} = 1\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{6}{{35}}\\\frac{5}{x} + \frac{7}{y} = 1\end{array} \right.\]

Giải hệ tìm được \[\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 14\end{array} \right..\] (thỏa mãn)

Vậy công nhân thứ nhất làm một mình xong việc trong \[10\] giờ, công nhân thứ hai làm một mình xong việc trong \[14\] giờ.

a) \(\Delta BCE\) vuông tại \[E\] nên \[E\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

\(\Delta BCF\) vuông tại \(F\) nên \(F\) thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

Suy ra \[B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}E,{\rm{ }}F\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\] nên tứ giác \[BCEF\] nội tiếp.

b) Xét \(\Delta BAD\) và \(\Delta QAC\) có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {ACQ} = 90^\circ \) (\(\widehat {ACQ} = 90^\circ \) vì góc nội tiếp nửa đường tròn);

\(\widehat {ABC} = \widehat {AQC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn

Do đó (g.g)

Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {QAC}\).

Chứng minh tương tự, ta có \(\widehat {ABQ} = 90^\circ \) và \(\widehat {BAQ} = \widehat {EAH}\)

Do đó (g.g).

Suy ra \[AE.AQ = AB.AH\].

c) Tứ giác \[BCEF\] nội tiếp nên \(\widehat {ABI} = \widehat {AEP}\) (cùng bù với \[\widehat {AEF}\]).

Ta có \(\widehat {BAD} = \widehat {QAC}\) nên \(\widehat {BAI} = \widehat {EAP}\).

Do đó, ta có suy ra \(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AI}}{{AP}}\).

Ta có suy ra \(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AQ}}{{AH}}\)

Do đó \(\frac{{AI}}{{AP}} = \frac{{AQ}}{{AH}}\) nên \(\frac{{AI}}{{AQ}} = \frac{{AP}}{{AH}}\)

Theo định lí Thalès đảo, ta có: \[PI\,{\rm{//}}\,HQ\].

Bài 5. 3 người cùng cất tài liệu quan trọng vào một cái két. Hỏi phải làm cho cái két ít nhất bao nhiêu ổ khoá và bao nhiêu chìa để két chỉ mở được nếu có mặt ít nhất 2 trong số 3 người trên.

Vì két chỉ mở được nếu có mặt ít nhất 2 người nên số ổ khoá phải lớn hơn hoặc bằng 2

a) Làm 2 ổ khoá

– Nếu làm 3 chìa thì sẽ có 2 người có cùng một loại chìa, 2 người này không mở được két.

– Nếu làm nhiều hơn 3 chìa thì ít nhất có 1 người cầm 2 chìa khác loại, vậy chỉ cần một người này đã mở được két.

b) Làm 3 ổ khoá

– Nếu làm tổng số 3 chìa thì phải đủ 3 người mới mở được két.

– Nếu làm 4 hoặc 5 chìa thì có ít nhất 2 người không mở được két.

– Nếu làm 6 chìa (mỗi ổ khoá 2 chìa), chia cho 3 người sao cho mỗi người cầm 2 chìa của hai ổ khoá khác nhau thì chỉ cần 2 người là có thể mở được két.

Vậy ít nhất phải làm 3 ổ khoá và mỗi ổ khoá làm 2 chìa.