Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai công nhân làm chung một công việc thì sau 5 giờ 50 phút sẽ hoàn thành xong công việc. Sau khi làm chung 5 giờ thì người thứ nhất đi làm việc khác trong khi người thứ hai vẫn tiếp tục làm trong 2 giờ nữa mới hoàn thành xong công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành xong công việc?

a) \(\Delta BCE\) vuông tại \[E\] nên \[E\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

\(\Delta BCF\) vuông tại \(F\) nên \(F\) thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

Suy ra \[B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}E,{\rm{ }}F\] thuộc đường tròn đường kính \[BC\] nên tứ giác \[BCEF\] nội tiếp.

b) Xét \(\Delta BAD\) và \(\Delta QAC\) có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {ACQ} = 90^\circ \) (\(\widehat {ACQ} = 90^\circ \) vì góc nội tiếp nửa đường tròn);

\(\widehat {ABC} = \widehat {AQC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn

Do đó (g.g)

Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {QAC}\).

Chứng minh tương tự, ta có \(\widehat {ABQ} = 90^\circ \) và \(\widehat {BAQ} = \widehat {EAH}\)

Do đó (g.g).

Suy ra \[AE.AQ = AB.AH\].

c) Tứ giác \[BCEF\] nội tiếp nên \(\widehat {ABI} = \widehat {AEP}\) (cùng bù với \[\widehat {AEF}\]).

Ta có \(\widehat {BAD} = \widehat {QAC}\) nên \(\widehat {BAI} = \widehat {EAP}\).

Do đó, ta có suy ra \(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AI}}{{AP}}\).

Ta có suy ra \(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AQ}}{{AH}}\)

Do đó \(\frac{{AI}}{{AP}} = \frac{{AQ}}{{AH}}\) nên \(\frac{{AI}}{{AQ}} = \frac{{AP}}{{AH}}\)

Theo định lí Thalès đảo, ta có: \[PI\,{\rm{//}}\,HQ\].

Bài 5. 3 người cùng cất tài liệu quan trọng vào một cái két. Hỏi phải làm cho cái két ít nhất bao nhiêu ổ khoá và bao nhiêu chìa để két chỉ mở được nếu có mặt ít nhất 2 trong số 3 người trên.

Vì két chỉ mở được nếu có mặt ít nhất 2 người nên số ổ khoá phải lớn hơn hoặc bằng 2

a) Làm 2 ổ khoá

– Nếu làm 3 chìa thì sẽ có 2 người có cùng một loại chìa, 2 người này không mở được két.

– Nếu làm nhiều hơn 3 chìa thì ít nhất có 1 người cầm 2 chìa khác loại, vậy chỉ cần một người này đã mở được két.

b) Làm 3 ổ khoá

– Nếu làm tổng số 3 chìa thì phải đủ 3 người mới mở được két.

– Nếu làm 4 hoặc 5 chìa thì có ít nhất 2 người không mở được két.

– Nếu làm 6 chìa (mỗi ổ khoá 2 chìa), chia cho 3 người sao cho mỗi người cầm 2 chìa của hai ổ khoá khác nhau thì chỉ cần 2 người là có thể mở được két.

Vậy ít nhất phải làm 3 ổ khoá và mỗi ổ khoá làm 2 chìa.

Độ dài cung tròn \[AB\] là \[10\pi \] (m).

Độ dài hàng rào: \[10\pi + 30 \approx 61,4\] (m).

Diện tích hình tròn là: 225 (m²).

Diện tích phần trồng hoa là: 75 (m²).

Diện tích phần lát gạch là: 75 471 (m²).