PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một phần đường chạy của tàu lượng siêu tốc (Hình 1) khi gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) được mô phỏng ở Hình 2, đơn vị trên mỗi trục là mét.                 

Hình 1

Hình 2

       Biết đường chạy của nó là một phần đồ thị hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)\(\left( {0 \le x < 90} \right)\); tàu lượn siêu tốc xuất phát từ điểm \(A\), đi qua các điểm \(C\), \(D\) (ba điểm \(A\), \(C\), \(D\) nằm trên đường thẳng song song với trục \(Ox\)) đồng thời đạt độ cao nhỏ nhất so với mặt đất là \(4{\rm{m}}\). Độ cao lớn nhất mà tàu lượng siêu tốc đạt được là bao nhiêu mét so với mặt đất (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Lời giải

Đáp án: 40,7.

Dựa vào Hình 2, ta thấy đường thẳng \(y = 30\) cắt đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)\(\left( {a < 0} \right)\) tại ba điểm phân biệt \(A\), \(C\), \(D\) có hoành độ lần lượt là \(x = 0\); \(x = 50\); \(x = 80\).

Do đó, \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d - 30 = ax\left( {x - 50} \right)\left( {x - 80} \right) = a\left( {{x^3} - 130{x^2} + 4000x} \right)\)

\( \Rightarrow y = a\left( {{x^3} - 130{x^2} + 4000x} \right) + 30 \Rightarrow y' = a\left( {3{x^2} - 260x + 4000} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 20 \in \left[ {0;90} \right)\\x = \frac{{200}}{3} \in \left[ {0;90} \right)\end{array} \right.\).

Tàu lượn đạt độ cao nhỏ nhất so với mặt đất là \(4{\rm{m}}\) nên

\(y\left( {20} \right) = 4 \Rightarrow a\left( {{{20}^3} - 130 \times {{20}^2} + 4000 \times 20} \right) + 30 = 4 \Leftrightarrow a =  - \frac{{13}}{{18000}}\).

Vậy độ cao lớn nhất mà tàu lượn siêu tốc đạt được là

\(y\left( {\frac{{200}}{3}} \right) =  - \frac{{13}}{{18000}}\left[ {{{\left( {\frac{{200}}{3}} \right)}^3} - 130{{\left( {\frac{{200}}{3}} \right)}^2} + 4000\left( {\frac{{200}}{3}} \right)} \right] + 30 = \frac{{9890}}{{243}} \approx 40,7{\rm{m}}\).