Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài là 1 . Nối các trung điểm của hình vuông này ta được hình vuông thứ hai. Nối các trung điểm của hình vuông thứ hai ta được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như vậy ta được một dãy các hình vuông.

Tổng chu vi của các hình vuông đó bằng \(a + b\sqrt 2 ,\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\). Tính \(P = a + b\).
Đáp án: ___

Đáp án đúng là: 12

Giải chi tiết

Gọi \({a_1} = 1;{a_2};{a_3}; \ldots ;{a_n}\)... lần lượt là cạnh của các hình vuông thứ 1, thứ \(2 \ldots \) thứ \(n \ldots \).
Ta có \({a_2} = \frac{1}{2}\sqrt 2 = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
\({a_3} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} \cdot \sqrt 2 = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}\)\({a_4} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt 2 = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^3}\)⋯
\({a_n} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{n - 1}}\)

Gọi \({S_n}\) là tổng các chu vi của \(n\) hình vuông
Ta có \({S_n} = 4 + 4.\frac{1}{{\sqrt 2 }} + 4.{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + \ldots + 4.{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{n - 1}} + \ldots \)
Ta thấy đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 4\) và \(q = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) nên
\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{4}{{1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 8 + 4\sqrt 2 \)Vậy \(P = a + b = 12\).