Cho bất phương trình $x^2-\left(m+1\right)x-m+2\ge 0$, với m là tham số thực. Tìm giá trị lớn nhất của m sao cho bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \left[0;4\right]$.

Đáp án: __

Đáp án đúng là: 1

Giải chi tiết

Với \(x \in \left[ {0;4} \right]\), ta có:
\({x^2} - \left( {m + 1} \right)x - m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - x + 2 \ge m\left( {x + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}} \ge m({\rm{do}}x + 1 > 0,\forall x \in \left[ {0;4} \right])\)Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}},x \ne - 1\).
Hàm số này liên tục trên \(\left[ {0;4} \right];f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 3\) (loại vì \( - 3 \notin \left[ {0;4} \right]\) ).
\(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = 1;f\left( 4 \right) = \frac{{14}}{5}\).
Suy ra .
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.

Đáp án cần điền là: 1