Cho hàm số \(y = \frac{{2x + m + 1}}{{x - 1}}\left( {{{\rm{C}}_{\rm{m}}}} \right)\). Tìm \(m\) để tiếp tuyến của \(\left( {{{\rm{C}}_{\rm{m}}}} \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 2\) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \(\frac{{25}}{2}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = \frac{{ - m - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)
Ta có \({x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = m + 5,y'\left( {{x_0}} \right) = - m - 3\).
Phương trình tiếp tuyến \({\rm{\Delta }}\) của \(\left( {{{\rm{C}}_{\rm{m}}}} \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 2\) là:
\(y = \left( { - m - 3} \right)\left( {x - 2} \right) + m + 5 = \left( { - m - 3} \right)x + 3m + 11\).

·      \({\rm{\Delta }} \cap Ox = A \Rightarrow A\left( {\frac{{3m + 11}}{{m + 3}};0} \right)\), với \(m + 3 \ne 0\)

          \({\rm{\Delta }} \cap Oy = B \Rightarrow B\left( {0;3m + 11} \right)\)

Diện tích tam giác OAB là: \(S = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2}\frac{{{{(3m + 11)}^2}}}{{\left| {m + 3} \right|}}\)
Theo giả thiết bài toán ta suy ra: \(\frac{1}{2}\frac{{{{(3m + 11)}^2}}}{{\left| {m + 3} \right|}} = \frac{{25}}{2}\)
\( \Leftrightarrow {(3m + 11)^2} = 25\left| {m + 3} \right| \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{l}}{9{m^2} + 66m + 121 = 25m + 75}\\{9{m^2} + 66m + 121 = - 25m - 75}\end{array}\)\( \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{l}}{9{m^2} + 41m + 46 = 0}\\{9{m^2} + 91m + 196 = 0}\end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{l}}{m = - 2;m = - \frac{{23}}{9}}\\{m = - 7;m = - \frac{{28}}{9}}\end{array}\).
Vậy \([\begin{array}{*{20}{l}}{m = - 2;m = - \frac{{23}}{9}}\\{m = - 7;m = - \frac{{28}}{9}}\end{array}\) là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: A