Trong mặt phẳng Oxy, điểm \(M\) nằm trên đường tròn \({(x + 3)^2} + {(y - 4)^2} = 4\) sao cho độ dài đoạn thẳng OM là ngắn nhất. Hoành độ điểm \(M\) là:

Phương pháp giải

Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn.

Viết phương trình đường thẳng OI.

OM ngắn nhất khi OM = | OI - R | với M là giao điểm của OI và đường tròn.

Giải chi tiết

Đường tròn \({(x + 3)^2} + {(y - 4)^2} = 4\) có tâm I(-3;4) và bán kính R = 2.

Phương trình đường thẳng OI đi qua O (0;0) và nhận \(\overrightarrow {OI} = ( - 3;4)\) làm VTCP là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 3t}\\{y = 4t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)

Ta có: \(OM = {\rm{ | }}OI - R{\rm{ |}} = 3\)

Để OM ngắn nhất thì: \(\overrightarrow {OM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {OI} \quad \Leftrightarrow \quad M\left( {\frac{9}{5},\frac{{12}}{5}} \right).\)

Đáp án cần chọn là: A