Cả hai xã \(A,B\) cùng ở một bên bờ sông Cấm, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \(AA' = 500{\rm{\;m}},BB' = 600{\rm{\;m}}\) và người ta đo được \(A'B' = 2200{\rm{\;m}}\) (Hình vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Cấm cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí \(M\) của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn \(A'B'\) sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí \(M\) là nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó có dạng \(a\sqrt b \left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Tính \(a - 20b\).

Đáp án: _____

Đáp án đúng là: 1000

Giải chi tiết

Tổng khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai vị trí \(A,B\) là \(T = MA + MB\).
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của \(T\)
Gọi \({A_1}\) là điểm đối xứng của \(A\) qua đường thẳng \(A'B'\)
Khi đó: \(T = MA + MB = M{A_1} + MB \ge {A_1}B\). Dấu "=" xảy ra khi

\(M = {A_1}B \cap A'B'\).
Suy ra GTNN của \(T\) bằng \({A_1}B\).
Đường thẳng đi qua \({A_1}\) vuông góc với \(BB'\) và cắt \(BB'\) tại \({B_1}\)
Dễ thấy tứ giác \(A'{A_1}{B_1}B'\) là hình chữ nhật từ đó ta tính được:
\({A_1}{B_1} = 2200m,B'{B_1} = A'{A_1} = AA' = 500m,B{B_1} = B'{B_1} + BB' = 1100m\)Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông \({A_1}{B_1}B\), ta có:
\({A_1}B = \sqrt {{A_1}{B_1}{\;^2} + B{B_1}{\;^2}} = \sqrt {{{2200}^2} + {{1100}^2}} = 1100\sqrt 5 \left( m \right)\)Suy ra \(a = 1100,b = 5\). Vậy \(a - 20b = 1100 - 20.5 = 1000\).
Đáp án cần điền là: 1000