Cho phương trình \({\log _{{\textstyle{1 \over 2}}}}(2x - m) + {\log _2}(3 - x) = 0\), m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Bước 2: Đưa về cùng cơ số 2.

Bước 3: Giải phương trình logarit: \({\log _a}f(x) = {\log _a}g(x) \Leftrightarrow f(x) = g(x).\)

Bước 4: Dựa vào điều kiện của x tìm m để phương trình có nghiệm.

Giải chi tiết

ĐKXĐ:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - m > 0}\\{3 - x > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - m > 0}\\{x < 3}\end{array}} \right..\)

Ta có: \({\log _{{\textstyle{1 \over 2}}}}(2x - m) + {\log _2}(3 - x) = 0 \Leftrightarrow  - {\log _2}(2x - m) + {\log _2}(3 - x) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}(3 - x) = {\log _2}(2x - m) \Leftrightarrow 3 - x = 2x - m \Leftrightarrow 3 = 3x - m \Leftrightarrow x = \frac{{m + 3}}{3}.\)

Để phương trình có nghiệm thì:\(m + 3 > 0\quad {\rm{v\`a }}\quad \frac{{m + 3}}{3} < 3 \Leftrightarrow m >  - 3\quad {\rm{v\`a }}\quad m < 6.\)

Kết hợp điều kiện m là số nguyên dương: \(m \in \{ 1,2,3,4,5\} .\)

Vậy có 5 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.