Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình bên dưới). Cạnh đáy dưới dài 5m, cạnh đáy trên dài 2m, cạnh bên dài 3m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1470000 đồng/\({m^3}\). Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều để tính thể tích bê tông cần dùng.

Giải chi tiết

Mô hình hoá chân tháp bằng cụt chóp tứ giác đều ABCD. A'B'C'D' với O, O' là tâm của hai đáy. Vậy\[{\rm{AB  =  5, A'B'  =  2,CC'  =  3}}{\rm{.}}\]

ABCD là hình vuông \( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 5\sqrt 2  \Rightarrow CO = {\textstyle{1 \over 2}}AC = {\textstyle{{5\sqrt 2 } \over 2}}.\)

A'B'C'D' là hình vuông \( \Rightarrow A'C' = \sqrt {A'{{B'}^2} + B{{C'}^2}}  = 2\sqrt 2  \Rightarrow C'O' = {\textstyle{1 \over 2}}A'C' = \sqrt 2 .\)

Kẻ \(C'H \bot OC\) (H ∈ OC).

OHC'O' là hình chữ nhật:

\(OH = O'C' = \sqrt 2 ,\qquad OO' = C'H = {\textstyle{{3\sqrt 2 } \over 2}}.\)

 vuông tại H:

\( \Rightarrow CH = \sqrt {C{{C'}^2} - C'{H^2}}  = {\textstyle{{3\sqrt 2 } \over 2}}\quad  \Rightarrow \quad OO' - C'H = {\textstyle{{3\sqrt 2 } \over 2}}.\)

Diện tích đáy lớn là: \[S = A{B^2} = {5^2} = 25\;({m^2})\]

Diện tích đáy bé là: \(S' = A'{B'^2} = {2^2} = 4\;({m^2})\)

Thể tích hình chóp cụt là:\(V = \frac{1}{3}(S + \sqrt {SS'}  + S'){\mkern 1mu} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{{3\sqrt 2 }}{2}{\mkern 1mu} (25 + \sqrt {25 \cdot 4}  + 4) = \frac{{39\sqrt 2 }}{2}\;({m^3})\)

Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:

\(\frac{{39\sqrt 2 }}{2} \cdot 1470000 \approx 40.538.432\;\)(đồng).