Cho phương trình: \({x^2} - 5x + 2 = 0\). Giả sử \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm (nếu có) của phương trình.

(a) Chứng minh phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

(b) Hãy tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình.

(c) Tính giá trị biểu thức: \(A = 2x_1^2.x_2^2 + x_1^2 + x_2^2\).

Có hai lọ thủy tinh hình trụ, lọ thứ nhất phía bên trong có bán kính đáy là 15 cm, chiều cao 20 cm đựng đầy nước, lọ thứ hai bên trong có bán kính đáy là 20 cm, chiều cao là 12 cm, không chứa nước.

(a) Hãy tính thể tích mỗi lọ hình trụ

(b) Nếu đổ hết nước từ trong lọ thứ nhất sang lọ thứ hai, nước có bị tràn ra ngoài không? Tại sao?

(Biết thể tích hình trụ: \(V = \pi {r^2}h\), với \(\pi \approx 3,14\))

Cho \(\Delta DEF\) nhọn \(\left( {DE < DF} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Ba đường cao \(DA,{\rm{ }}EB,{\rm{ }}FC\) cắt nhau tại \(H\).

(a) Chứng minh: \(BFEC\) là tứ giác nội tiếp.

(b) Kẻ đường kính \(DI\). Chứng minh tam giác \(DFI\) vuông và \(DE.DF = DA.DI\).

(c) Kẻ tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D\) cắt đường thẳng \(EF\) tại \(Q\). Tia phân giác \(DM\) của \(\Delta DEF\) (\(M\) thuộc \(EF\)) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(K\). Chứng minh: \(\widehat {EDO} = \widehat {FDA}\). Suy ra: \(\Delta QDM\) cân.

Cho hàm số: \(y = 2{x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\)

(a) Vẽ \(\left( P \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

(b) Hãy kiểm tra xem các điểm \(A\left( { - 4;32} \right);{\rm{ }}B\left( {3; - 18} \right)\) có thuộc đồ thị hàm số trên không? Vì sao?

Giải phương trình sau bằng công thức nghiệm: \(x\left( {2x + 3} \right) - 4 = 5\).

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Hai bạn Tí và Tèo cùng đi xe đạp điện từ nhà bạn Tèo đến nhà bạn An học nhóm trên đoạn đường dài 10 km khởi hành cùng một lúc. Tốc độ chạy xe của Tèo nhanh hơn tốc độ chạy xe của Tí là 5 km/h nên Tèo đến nơi trước Tí 6 phút. Tính tốc độ chạy xe của mỗi bạn.