Một hồ nước có hình dạng là một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 10 m và 7 m. Ở giữa hồ nước người ta dự định đổ đất để ngăn hố thành 2 phần, phần ngoài trồng sen và phần trong nuôi cá (như hình vẽ). Biết khoảng cách các bờ của phần nuôi cá và bờ của hồ nước là \(x\,\left( m \right)\).

(a) Tính diện tích của phần nuôi cá theo \(x\).

(b) Biết diện tích của phần trồng sen chiếm \(\frac{3}{7}\) tổng diện tích hồ nước. Hãy tính chiều dài, chiều rộng của phần nuôi cá.

a) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có ai tiếp tuyến \(AB,\,AC\) cắt nhau tại \(A\) nên \(AB = AC\), do đó điểm \(A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

Lại có \(OB = OC = R\) nên điểm \(O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

Do đó, \(AO\) là đường trung trực của \(BC.\) Vậy \(OA\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\).

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta AOB\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {ABO} = 90^\circ \) và \(\widehat {BAO}\) là góc chung

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) hay \(A{B^2} = AH\,.\,AO\).

b) Gọi \[K\] là giao điểm của \[OE\] và \[AD\].

Xét \[\Delta OAK\] và \[\Delta OEH\] có:

\[\widehat {AKO} = \widehat {EHO} = 90^\circ \] và \[\widehat {AOE}\] là góc chung

Do đó (g.g).

Suy ra \[\frac{{OK}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OE}}\] nên \[OH \cdot OA = OK \cdot OE\].

Chứng minh tương tự câu a, ta có suy ra \[\frac{{OH}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OA}}\] nên \[O{B^2} = OH \cdot OA\].

Do đó \[O{B^2} = OK \cdot OE.\] Mà \[OB = OD\] nên \[O{D^2} = OK \cdot OE.\] Suy ra \(\frac{{OK}}{{OD}} = \frac{{OD}}{{OE}}\).

Xét \[\Delta OKD\] và \[\Delta ODE\] có:

\[\widehat {DOE}\] là góc chung và \(\frac{{OK}}{{OD}} = \frac{{OD}}{{OE}}\)

Do đó (c.g.c). Suy ra \[\widehat {OKD} = \widehat {ODE}\].

Như vậy, \[\widehat {ODE} = 90^\circ \] nên \(DE\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

c) Xét \[\Delta OAB\] vuông tại \[B,\] ta có:

⦁ \[\cos \widehat {AOB} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}.\] Suy ra \[\widehat {AOB} = 60^\circ .\]

⦁ \[A{B^2} = A{O^2} - O{B^2} = {10^2} - {5^2} = 75\], suy ra \[AB = 5\sqrt 3 \] (cm).

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có ai tiếp tuyến \(AB,\,AC\) cắt nhau tại \(A\) nên \(OA\) là tia phân giác của \[\widehat {BOC}\].

Do đó \[\widehat {BOC} = 2\widehat {AOB} = 120^\circ \] nên

Ta có (cm2);

\[{S_{tgABOC}} = 2{S_{\Delta OAB}} = 2 \cdot \frac{1}{2}AB \cdot OB = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt 3 \cdot 5 = 25\sqrt 3 \] (cm2).

Vậy phần diện tích mặt phẳng giới hạn bởi \(AB,\,AC\) và cung nhỏ \(BC\) của \(\left( {O\,;\,R} \right)\) là:

\[{S_{tgABOC}} - {S_{BOC}} = 25\sqrt 3 - \frac{{5\pi }}{3} \approx 38,1\] (cm2).

Gọi \(x\) (cuốn) là số sách ở ngăn thứ nhất \(\left( {x > 0} \right)\).

Khi đó, số sách ở ngăn thứ hai là \(400 - x\) (cuốn).

Nếu chuyển 80 cuốn sách từ ngăn thứ nhất sang ngăn thứ hai thì số sách ở ngăn thứ nhất là \(x - 80\) (cuốn), số sách ở ngăn thứ hai là \(400 - x + 80 = 480 - x\) (cuốn).

Theo bài, ta có phương trình:

\(480 - x = 3\left( {x - 80} \right)\)

\(480 - x = 3x - 240\)

\(720 = 4x\)

\(x = 180\) (thỏa mãn).

Vậy ngăn thứ nhất và ngăn thứ hai ban đầu lần lượt là 180 (cuốn), 220 (cuốn).