Vận tốc lăn \(v\) (tính bằng m/s) của một vật thể nặng \(m\) (tính bằng kg) được tác động một lực (gọi là năng lượng Kinetic Energy, ký hiệu \({E_k}\), tính bằng J) được cho bởi công thức \({E_k} = \frac{{m{v^2}}}{2}\).

(a) Hãy tính vận tốc của một quả banh bowling nặng 3 kg khi một người tác động một lực \({E_k} = 18\,\,{\rm{J?}}\)

(b) Muốn lăn một quả bowling nặng 3 kg với vận tốc 6 m/s, thì cần sử dụng năng lượng lượng Kinetic Energy, ký hiệu \({E_k}\) bao nhiêu Joule?

a) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có ai tiếp tuyến \(AB,\,AC\) cắt nhau tại \(A\) nên \(AB = AC\), do đó điểm \(A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

Lại có \(OB = OC = R\) nên điểm \(O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

Do đó, \(AO\) là đường trung trực của \(BC.\) Vậy \(OA\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\).

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta AOB\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {ABO} = 90^\circ \) và \(\widehat {BAO}\) là góc chung

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) hay \(A{B^2} = AH\,.\,AO\).

b) Gọi \[K\] là giao điểm của \[OE\] và \[AD\].

Xét \[\Delta OAK\] và \[\Delta OEH\] có:

\[\widehat {AKO} = \widehat {EHO} = 90^\circ \] và \[\widehat {AOE}\] là góc chung

Do đó (g.g).

Suy ra \[\frac{{OK}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OE}}\] nên \[OH \cdot OA = OK \cdot OE\].

Chứng minh tương tự câu a, ta có suy ra \[\frac{{OH}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OA}}\] nên \[O{B^2} = OH \cdot OA\].

Do đó \[O{B^2} = OK \cdot OE.\] Mà \[OB = OD\] nên \[O{D^2} = OK \cdot OE.\] Suy ra \(\frac{{OK}}{{OD}} = \frac{{OD}}{{OE}}\).

Xét \[\Delta OKD\] và \[\Delta ODE\] có:

\[\widehat {DOE}\] là góc chung và \(\frac{{OK}}{{OD}} = \frac{{OD}}{{OE}}\)

Do đó (c.g.c). Suy ra \[\widehat {OKD} = \widehat {ODE}\].

Như vậy, \[\widehat {ODE} = 90^\circ \] nên \(DE\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

c) Xét \[\Delta OAB\] vuông tại \[B,\] ta có:

⦁ \[\cos \widehat {AOB} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}.\] Suy ra \[\widehat {AOB} = 60^\circ .\]

⦁ \[A{B^2} = A{O^2} - O{B^2} = {10^2} - {5^2} = 75\], suy ra \[AB = 5\sqrt 3 \] (cm).

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có ai tiếp tuyến \(AB,\,AC\) cắt nhau tại \(A\) nên \(OA\) là tia phân giác của \[\widehat {BOC}\].

Do đó \[\widehat {BOC} = 2\widehat {AOB} = 120^\circ \] nên

Ta có (cm2);

\[{S_{tgABOC}} = 2{S_{\Delta OAB}} = 2 \cdot \frac{1}{2}AB \cdot OB = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt 3 \cdot 5 = 25\sqrt 3 \] (cm2).

Vậy phần diện tích mặt phẳng giới hạn bởi \(AB,\,AC\) và cung nhỏ \(BC\) của \(\left( {O\,;\,R} \right)\) là:

\[{S_{tgABOC}} - {S_{BOC}} = 25\sqrt 3 - \frac{{5\pi }}{3} \approx 38,1\] (cm2).

a) Bảng giá trị của hàm số:

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), lấy các điểm \(A\left( { - 2;\,\, - 4} \right),\) \(B\left( { - 1;\,\, - 1} \right),\) \(O\left( {0;\,\,0} \right),\) \(C\left( {1;\,\, - 1} \right),\) \(D\left( {2;\,\, - 4} \right).\)

Đồ thị của hàm số \(\left( P \right):\,y = - {x^2}\) là một đường parabol đỉnh \(O,\) đi qua các điểm trên và có dạng như hình sau:

b) Giả sử \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là điểm thuộc \[\left( P \right)\] có hoành độ và tung độ là những số đối nhau. Khi đó, \({y_0} = - {x_0}.\)

Do đó \(M\left( {{x_0};\,\, - {x_0}} \right)\) thuộc \[\left( P \right)\]: \(\left( P \right):\,y = - {x^2}\) nên ta có:

\( - {x_0} = - x_0^2\)

\(x_0^2 - {x_0} = 0\)

\({x_0}\left( {{x_0} - 1} \right) = 0\)

\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = 1\).

Với \({x_0} = 0\) ta có \({y_0} = 0,\) ta được điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right).\)

Với \({x_0} = 1\) ta có \({y_0} = - 1,\) ta được điểm \(C\left( {1;\,\, - 1} \right).\)

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) và \(C\left( {1;\,\, - 1} \right).\)