Một đề kiểm tra trắc nghiệm 45 phút môn Tiếng Anh của lớp 10 là một đề gồm 25 câu hỏi độc lập, mỗi câu hỏi có 4 đáp án trả lời trong đó chỉ có một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,4 điểm, câu trả lời sai không được điểm. Bạn Bình vì học rất kém môn Tiếng Anh nên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 25 câu. Gọi A là biến cố "Bình làm đúng k câu", biết xác suất của biến cố A đạt giá trị lớn nhất. Tính k.

Phương pháp giải

Sử dụng tổ hợp.

Giải chi tiết

Vì đề thi có 25 câu và mỗi câu có 4 phương án trả lời nên xác suất để Bình làm đúng \(k\) câu là
\(P = C_{25}^k \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^k} \cdot {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{25 - k}} = \frac{{C_{25}^k \cdot {3^{25 - k}}}}{{{4^{25}}}}\)Với \(0 \le k \le 25\).
Xét hàm \(f\left( k \right) = C_{25}^k \cdot {3^{25 - k}}\) với \(k \in \mathbb{N}\) và \(k \le 25\).
Ta có \(f\left( k \right)\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( k \right) \ge f\left( {k - 1} \right)}\\{f\left( k \right) \ge f\left( {k + 1} \right)}\end{array} \Leftrightarrow 6,5 \ge k \ge 5,5 \Rightarrow k = 6\).
Suy ra .
Vậy \(k = 6\).
Đáp án: 6