Gọi $a,b(a<b)$  là các nghiệm của phương trình $6^x+6=2^{x+1}+3^{x+1}$. Tính giá trị của \(P = {3^a} + {2^b}\)
Đáp án: __

Đáp án đúng là: 5

Giải chi tiết

                             \({6^x} + 6 = {2^{x + 1}} + {3^{x + 1}}\)

\( \Leftrightarrow {2^x} \cdot {3^x} - {2^{x + 1}} - {3^{x + 1}} + 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow {2^x}\left( {{3^x} - 2} \right) - 3\left( {{3^x} - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{3^x} - 2} \right)\left( {{2^x} - 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} - 2 = 0}\\{{2^x} - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow } \right[\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} = 2}\\{{2^x} = 3}\end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{c}}{x = {{\log }_3}2}\\{x = {{\log }_2}3}\end{array}\)

Vì \(a < b\) nên \(a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}2,b = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3\).
Vậy \(P = {3^a} + {2^b} = {3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}2}} + {2^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3}} = 2 + 3 = 5\).

Đáp án cần điền là: 5