Đọc đoạn trích và trả lời câu hỏi dưới đây:

Một hôm, Gri-gơ bắt gặp trong rừng một em bé có đôi bím tóc nhỏ xíu, con ông gác rừng. Em bé đang nhặt những quả thông bỏ vào trong lẵng.

Trời đang thu. Nếu như ta có thể lấy hết đồng và vàng trên trái đất đem đánh thành muôn vàn lá cây rất mực tinh xảo thì những chiếc lá đó cũng chỉ có thể làm thành một phần rất nhỏ bộ quần áo mà mùa thu đang trải trên những ngọn núi kia mà thôi. Vả lại, những chiếc lá nhân tạo nọ sẽ rất thô kệch nếu so với lá thật, nhất là những lá liễu hoàn diệp. Mọi người đều biết rằng chỉ cần một tiếng chim hót thôi cũng đã đủ làm chúng run rẩy.

(Theo C.Pau-tốp-xki, Lẵng quả thông)

Ý nào thể hiện chính xác nhất nội dung của đoạn trích?

Phương pháp giải

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

Giải chi tiết

Gọi \({A_1},{A_2},{A_3}\) lần lượt là các biến cố: chọn được một sinh viên

Giỏi, Khá, Trung Bình.

Khi đó \({A_1},{A_2},{A_3}\)là một hệ biến cố đầy đủ.

Gọi B là biến cố: “Sinh viên đó trả lời đúng 4 câu hỏi”.

Ta có:

\(P({A_1}) = \frac{{C_{10}^2}}{{C_{10}^1}} = \frac{1}{5},\qquad P({A_2}) = \frac{{C_{10}^3}}{{C_{10}^1}} = \frac{3}{{10}},\qquad P({A_3}) = \frac{{C_{10}^5}}{{C_{10}^1}} = \frac{1}{2}.\)

Ta lại có:

2 sinh viên Giỏi (trả lời 100% số câu hỏi) \( \Rightarrow \)trả lời 20 câu hỏi.

3 sinh viên Khá (trả lời 80% số câu hỏi) \( \Rightarrow \) trả lời 20.80%=16 câu hỏi.

5 sinh viên Trung Bình (trả lời 50% số câu hỏi) \( \Rightarrow \) trả lời 20. 50%=10 câu hỏi.

Từ đó:

\(P(B\mid {A_1}) = \frac{{C_{20}^4}}{{C_{20}^4}} = 1,\qquad P(B\mid {A_2}) = \frac{{C_{16}^4}}{{C_{20}^4}} = \frac{{364}}{{969}},\qquad P(B\mid {A_3}) = \frac{{C_{10}^4}}{{C_{20}^4}} = \frac{{14}}{{323}}.\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

\(P(B) = P(B\mid {A_1})P({A_1}) + P(B\mid {A_2})P({A_2}) + P(B\mid {A_3})P({A_3})\)\( = 1 \cdot \frac{1}{5} + \frac{{364}}{{969}} \cdot \frac{3}{{10}} + \frac{{14}}{{323}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{108}}{{323}}.\)

Xác suất để sinh viên đó là sinh viên Khá là\(P({A_2}\mid B)\).

Áp dụng công thức Bayes:

\(P({A_2}\mid B) = \frac{{P(B\mid {A_2}) \cdot P({A_2})}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{{364}}{{969}} \cdot \frac{3}{{10}}}}{{\frac{{108}}{{323}}}} = \frac{{91}}{{270}} \approx 0,337.\)Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải

Gọi H là vị trí máy bay gần nhất.

Từ \(OH \bot d\) tìm tọa độ điểm H.

Từ đó tính OH nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 688 + 91t,}\\{y = - 185 + 75t,}\\{z = 8.}\end{array}} \right.\)

Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

Khi đó, khoảng cách OH là ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu,

điều này xảy ra khi và chỉ khi\(OH \bot d\).

Vì \(H \in d\) nên\(H( - 688 + 91t;{\mkern 1mu} - 185 + 75t;{\mkern 1mu} 8).\)

Ta có \(\overrightarrow {OH} = ( - 688 + 91t;{\mkern 1mu} - 185 + 75t;{\mkern 1mu} 8).\)

Điều kiện \(OH \bot d\) tương đương \(\overrightarrow {OH} \cdot \vec u = 0\)

\( \Leftrightarrow ( - 688 + 91t) \cdot 91 + ( - 185 + 75t) \cdot 75 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{11}}{2}.\)

Suy ra \(H\left( { - \frac{{375}}{2};{\mkern 1mu} \frac{{455}}{2};{\mkern 1mu} 8} \right).\)

Khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là

\(OH = \sqrt {{{\left( { - \frac{{375}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{455}}{2}} \right)}^2} + {8^2}} \approx 295\;{\rm{(km)}}.\)