Người ta xả nước từ một chiếc bể với vận tốc \(v\left( t \right) = 500 - 10t\) (lít/phút), với t là thời gian tính bằng phút. Biết rằng bể sẽ hết nước sau \(40\) phút kể từ lúc bắt đầu xả. Hỏi ban đầu trong bể có bao nhiêu mét khối nước?

Lời giải

a) Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức

\(P\left( x \right) = \int {\left( { - 0,0006x + 9,4} \right)} \,{\rm{d}}x =  - 0,0003{x^2} + 9,4x + C\).

Do \(P\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\). Suy ra \(P\left( x \right) =  - 0,0003{x^2} + 9,4x\).

b) Lợi nhuận khi bán được \(40\) sản phẩm đầu tiên là

\(P\left( {40} \right) =  - 0,0003\,.\,{40^2} + 9,4\,.\,40 = 375,52\) (triệu đồng).

c) Lợi nhuận khi bán được \(45\) sản phẩm đầu tiên là

\(P\left( {45} \right) =  - 0,0003\,.\,{45^2} + 9,4\,.\,45 = 422,3925\) (triệu đồng).

Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(40\) lên \(45\) đơn vị sản phẩm là

\(P\left( {45} \right) - P\left( {40} \right) = 422,3925 - 375,52 = 46,8725\) (triệu đồng).

d) Theo đề bài, sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(40\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm lớn hơn \(350\) triệu đồng, ta có

\(\begin{array}{l}P\left( a \right) - P\left( {40} \right) > 350\\ \Leftrightarrow \left( { - 0,0003{a^2} + 9,4a} \right) - 375,52 > 350\\ \Leftrightarrow  - 0,0003{a^2} + 9,4a - 725,52 > 0\\ \Rightarrow 77,37 < a < 31255,96\end{array}\)

Mà \(a \in \mathbb{N} \Rightarrow {a_{\min }} = 78\).

Lời giải

a) \(\int\limits_1^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  = 128 \Rightarrow  - \int\limits_1^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 128 \Rightarrow \int\limits_1^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - 128\). Suy ra là mệnh đề sai.

b) \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  = 20 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 20 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  > \int\limits_1^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \). Suy ra là mệnh đề sai.

c) \(\int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 20 \Rightarrow f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right) = 20 \Rightarrow f\left( 1 \right) = f\left( { - 1} \right) + 20 = 20 - \frac{{43}}{4} = \frac{{37}}{4}\). Suy ra là mệnh đề đúng.

d) \(\int\limits_{ - 1}^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_1^5 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 20 - 128 =  - 108\). Suy ra là mệnh đề đúng.