a. I am sure you will fare well in the exams, and I’m also pretty sure that you’ll score the highest mark!

b. I hope so, Ma’am.

c. I thought so! I know how much you love English. So, did you decide from which college you want to pursue English Honours?

d. Yes, Ma’am, I have made a list of a few colleges; they are quite good. But ultimately, it will depend on how much I manage to score in my Board exams.

e. I wish you all the best for your Board results and future too.

f. Well, Ma’am, I am planning to pursue English Literature.

Phương pháp giải

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

Giải chi tiết

Gọi \({A_1},{A_2},{A_3}\) lần lượt là các biến cố: chọn được một sinh viên

Giỏi, Khá, Trung Bình.

Khi đó \({A_1},{A_2},{A_3}\)là một hệ biến cố đầy đủ.

Gọi B là biến cố: “Sinh viên đó trả lời đúng 4 câu hỏi”.

Ta có:

\(P({A_1}) = \frac{{C_{10}^2}}{{C_{10}^1}} = \frac{1}{5},\qquad P({A_2}) = \frac{{C_{10}^3}}{{C_{10}^1}} = \frac{3}{{10}},\qquad P({A_3}) = \frac{{C_{10}^5}}{{C_{10}^1}} = \frac{1}{2}.\)

Ta lại có:

2 sinh viên Giỏi (trả lời 100% số câu hỏi) \( \Rightarrow \)trả lời 20 câu hỏi.

3 sinh viên Khá (trả lời 80% số câu hỏi) \( \Rightarrow \) trả lời 20.80%=16 câu hỏi.

5 sinh viên Trung Bình (trả lời 50% số câu hỏi) \( \Rightarrow \) trả lời 20. 50%=10 câu hỏi.

Từ đó:

\(P(B\mid {A_1}) = \frac{{C_{20}^4}}{{C_{20}^4}} = 1,\qquad P(B\mid {A_2}) = \frac{{C_{16}^4}}{{C_{20}^4}} = \frac{{364}}{{969}},\qquad P(B\mid {A_3}) = \frac{{C_{10}^4}}{{C_{20}^4}} = \frac{{14}}{{323}}.\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

\(P(B) = P(B\mid {A_1})P({A_1}) + P(B\mid {A_2})P({A_2}) + P(B\mid {A_3})P({A_3})\)\( = 1 \cdot \frac{1}{5} + \frac{{364}}{{969}} \cdot \frac{3}{{10}} + \frac{{14}}{{323}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{108}}{{323}}.\)

Xác suất để sinh viên đó là sinh viên Khá là\(P({A_2}\mid B)\).

Áp dụng công thức Bayes:

\(P({A_2}\mid B) = \frac{{P(B\mid {A_2}) \cdot P({A_2})}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{{364}}{{969}} \cdot \frac{3}{{10}}}}{{\frac{{108}}{{323}}}} = \frac{{91}}{{270}} \approx 0,337.\)Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải

Gọi H là vị trí máy bay gần nhất.

Từ \(OH \bot d\) tìm tọa độ điểm H.

Từ đó tính OH nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 688 + 91t,}\\{y = - 185 + 75t,}\\{z = 8.}\end{array}} \right.\)

Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

Khi đó, khoảng cách OH là ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu,

điều này xảy ra khi và chỉ khi\(OH \bot d\).

Vì \(H \in d\) nên\(H( - 688 + 91t;{\mkern 1mu} - 185 + 75t;{\mkern 1mu} 8).\)

Ta có \(\overrightarrow {OH} = ( - 688 + 91t;{\mkern 1mu} - 185 + 75t;{\mkern 1mu} 8).\)

Điều kiện \(OH \bot d\) tương đương \(\overrightarrow {OH} \cdot \vec u = 0\)

\( \Leftrightarrow ( - 688 + 91t) \cdot 91 + ( - 185 + 75t) \cdot 75 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{11}}{2}.\)

Suy ra \(H\left( { - \frac{{375}}{2};{\mkern 1mu} \frac{{455}}{2};{\mkern 1mu} 8} \right).\)

Khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là

\(OH = \sqrt {{{\left( { - \frac{{375}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{455}}{2}} \right)}^2} + {8^2}} \approx 295\;{\rm{(km)}}.\)