Cho hàm số \(f(x) = {\cos ^2}2x + 2{(\sin x + \cos x)^3} - 3\sin 2x + m.\)Số các giá trị nguyên của m để \({f^2}(x) \le 36,\;\forall x\) là?

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin x + \cos x\) đưa về hàm số phụ thuộc biến t và khảo sát hàm số đó.

Giải chi tiết

Ta có \({\cos ^2}2x + 2{(\sin x + \cos x)^3} - 3\sin 2x + m = 1 - {\sin ^2}2x + 2{(\sin x + \cos x)^3} - 3\sin 2x + m.\)

Đặt \(t = \sin x + \cos x,\;t \in [ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ].\)

\({t^2} = {(\sin x + \cos x)^2} = {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 1 + \sin 2x \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1.\)

Khi đó ta được \(1 - {({t^2} - 1)^2} + 2{t^3} - 3({t^2} - 1) + m = 1 - ({t^2} - 1)({t^2} + 2) + 2{t^3} + m.\)

Xét \(h(t) = 1 + 2{t^3} - ({t^2} - 1)({t^2} + 2) = - {t^4} + 2{t^3} - {t^2} + 3.\)

Ta có \({f^2}(x) \le 36,\;\forall x \Leftrightarrow |h(t) + m| \le 6 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h(t) \le 6 - m,}\\{h(t) \ge - 6 - m.}\end{array}} \right.\)

Xét hàm số  \(h(t) = - {t^4} + 2{t^3} - {t^2} + 3\quad {\rm{tr\^e n }}[ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ].\)

\(h'(t) = - 4{t^3} + 6{t^2} - 2t \Rightarrow h'(t) = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0,}\\{t = 1,}\\{t = \frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\)

Ta có bảng biến thiên.

Suy ra

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\max }\limits_{[ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ]} h(t) = 3 \le 6 - m,}\\{[6pt]\mathop {\min }\limits_{[ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ]} h(t) = - 3 + 4\sqrt 2 \ge - 6 - m.}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 3,}\\{m \ge - 3 - 4\sqrt 2 .}\end{array}} \right.\)

Suy ra

\(m \in \{ - 8, - 7, - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1,0,1,2,3\} .\)

Đáp án cần chọn là: D

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Với biểu thức phụ thuộc m qua \(t = \phi \;\left( x \right)\), chuyển bài toán về khảo sát \(F\left( {t,m} \right)\) trên miền\(\;t\) (thường \(t \in \;\mathbb{R}\) hoặc đoạn). Đếm số \(m\) thỏa điều kiện bằng cách:

o   Tìm miền giá trị \(F\left( {t,m} \right)\) theo \(t\)

o   Suy ra điều kiện trên \(m\) (bất đẳng thức, đếm nguyên).

·        Chọn ẩn phụ làm đơn điệu/đối xứng; dùng bảng biến thiên để đọc nhanh miền giá trị.