Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi tâm \(O\), cạnh \(a\), $\angle BAD={135}^{°}$. Biết \(SA = 2a\) và tạo với mặt phẳng đáy một góc ${60}^{°}$. Gọi \(I\) là trung điểm của \(SO\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(BI\) và song song với \(AC\), \((P)\) chia hình chóp \(S.ABCD\) thành hai phần. Biết thể tích phần nhỏ hơn là \[\frac{{{a^3}\sqrt m }}{n},\] với \(m,n \in {\mathbb{N}^*}\), \(m + n < 60\). Tính giá trị của biểu thức \[T = \frac{m}{{{n^2}}}.\]

Đáp án:  __

Phương pháp giải: Tính các tỉ lệ độ dài, từ đó sử dụng tỉ số thể tích.

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm hình thoi ABCD. Khi đó \(O\) là giao điểm hai đường chéo.

Do \(SA = 2a\) và SA tạo với mặt phẳng \((ABCD)\) một góc ${60}^0$, nên

$h=SH=SA\cdot \cos {60}^{°}=2a\cdot \frac{1}{2}=a,$

trong đó \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống mặt phẳng đáy.

Diện tích đáy ABCD:

$S_{ABCD}=a^2\sin {135}^{°}=a^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Do đó thể tích hình chóp S.ABCD là

    \[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot a = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}.\]

---

Gọi \(I\) là trung điểm của SO.

Mặt phẳng \((P)\) đi qua BI và song song với AC.

Mặt phẳng \((P)\) cắt các cạnh $SA, SC, SD$ lần lượt tại M, N, P.

Do \((P)\parallel AC\) nên:

                                                         \[MN\parallel AC.\]

Suy ra M, N lần lượt là trung điểm của $SA, SC$.

Gọi \(K\) là trung điểm của $PD$.

---

Xét các tỉ số thể tích:

       \[\frac{{{V_{SBPM}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{{SB}}{{SB}} \cdot \frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SN}}{{SC}} \cdot \frac{{SP}}{{SD}} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}.\]

Do đó thể tích phần nhỏ hơn là

            \[{V_{{\rm{nh?}}}} = \frac{1}{8}{\mkern 1mu} {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}.\]

So sánh với dạng đề bài:

     \[\frac{{{a^3}\sqrt m }}{n}\quad \Rightarrow \quad m = 2,\;n = 48.\]

---

Tính

        \[T = \frac{m}{{{n^2}}} = \frac{2}{{{{48}^2}}} = \frac{2}{{2304}} = \frac{1}{{1152}}.\]

Theo yêu cầu của đề bài, giá trị cần tìm là: 1.