Cho hàm số \[f(x) = \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^2} - 4x + 3}}.\]

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm số sau đó xét tính đơn điệu của hàm số.

Giải chi tiết:

Hàm số xác định trên:

                                      \[( - \infty ;1) \cup (1;3) \cup (3; + \infty ).\]

Ta có:

                      \[f'(x) = \frac{{(2x - 3)({x^2} - 4x + 3) - (2x - 4)({x^2} - 3x - 4)}}{{{{({x^2} - 4x + 3)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 14x - 25}}{{{{({x^2} - 4x + 3)}^2}}}.\]

Cho \(f'(x) = 0\):

              \[ - {x^2} + 14x - 25 = 0\; \Leftrightarrow \;x = 7 \pm 2\sqrt 6 .\]

Suy ra:

         \[f'(x) > 0 \Leftrightarrow x \in (7 - 2\sqrt 6 ;{\mkern 1mu} 3) \cup (3;{\mkern 1mu} 7 + 2\sqrt 6 ).\]

Kiểm tra các khoảng đã cho, chỉ có \((3;4)\) là khoảng con của \((7 - 2\sqrt 6 ;{\mkern 1mu} 3) \cup (3;{\mkern 1mu} 7 + 2\sqrt 6 )\).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((3;4)\).