Trong không gian, cho đường thẳng

               \[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t - 1,}\\{y = 2t + 2,}\\{z = 3t,}\end{array}} \right.\] và điểm \(M(4; - 8;5)\).

Đường thẳng đi qua điểm \(M\), cắt và vuông góc với đường thẳng \(d\)nhận vectơ nào sau đây làm vectơ chỉ phương?

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và đường thẳng cần tìm.

Khi đó \(H(a - 1;2a + 2;3a)\).

Vectơ chỉ phương của \(d\) là:

                                                      \[{\vec u_d} = (1;2;3).\]

Ta có:

                              \[\overrightarrow {MH} = (a - 5;\;2a + 10;\;3a - 5).\]

Do hai đường thẳng vuông góc với nhau nên:

                                   \[{\vec u_d} \cdot \overrightarrow {MH} = 0\]

     \[ \Rightarrow (a - 5) + 2(2a + 10) + 3(3a - 5) = 0 \Rightarrow 14a = 0 \Rightarrow a = 0.\]

Suy ra:

                           \[\overrightarrow {MH} = ( - 5;10; - 5) = 5( - 1;2; - 1).\]

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là:

                                                               \[(3; - 6;3).\]