Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x - m\) (\(m\) là tham số).

Đáp án đúng là: a) Đ b) S c) S d) Đ

a) Ta có bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) của hàm số \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:

Đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) đi qua 5 điểm có tọa độ \(\left( { - 4;8} \right)\); \(\left( { - 2;2} \right)\); \(\left( {0;0} \right)\); \(\left( {2;2} \right)\); \(\left( {4;8} \right)\).

Do đó, đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) có dạng như sau:

b) Với \(m = 0\) thì ta có đường thẳng \(\left( d \right):y = x\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{1}{2}{x^2} = x\).

Suy ra \(\frac{1}{2}{x^2} - x = 0\) hay \({x^2} - 2x = 0\), do đó \(x\left( {x - 2} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Vậy với \(m = 0\) thì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là \(0\) và \(2\).

c) Với \(m = \frac{1}{2}\) thì ta có đường thẳng \(\left( d \right):y = x - \frac{1}{2}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{1}{2}{x^2} = x - \frac{1}{2}\)

Suy ra \({x^2} - 2x + 1 = 0\) hay \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0\), do đó \(x = 1\).

Vậy với \(m = \frac{1}{2}\) thì \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) cắt nhau tại điểm có hoành độ \(x = 1\).

d) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\), ta có:

\(\frac{1}{2}{x^2} = x - m\) hay \({x^2} - 2x + 2m = 0\) (1).

Ta có biệt thức của phương trình (1) là: \(\Delta = 4 - 8m\).

Để \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra \(\Delta > 0\) hay \(4 - 8m > 0\), do đó \(m < \frac{1}{2}\).

Vậy với \(m < \frac{1}{2}\) thì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.