Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x + m}&{{\rm{\;khi\;}}}&{x < 1}\\{ - 2x + n}&{{\rm{\;khi\;}}}&{x \ge 1}\end{array}\left( {m,n \in \mathbb{R}} \right)} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx=0$.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

Đáp án đúng là: 42,412

Phương pháp giải

Sử dụng tích phân tính thể tích vật thể

Giải chi tiết

Parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 4x + 9\)
Thể tích vật thể là $V=\pi {\int }_0^5{\left(\frac{y}{2}\right)}^{2}dy+\pi {\int }_5^9{\left(2-\sqrt{y-5}\right)}^{2}dy+\pi {\int }_5^6{\left(\frac{y}{2}\right)}^2-{\left(2+\sqrt{y-5}\right)}^{2}dy=42,412$

Đáp án cần điền là: 42,412

Giải chi tiết

1.Đúng vì $v_1^{\text{'}}\left(t\right)=-0,1.15e^{-0,1t}<0\Rightarrow v_1\left(t\right)$ luôn nghịch biến tức là báo đen có tốc độ giảm dần
$v_2\left(t\right)=20-20e^{-0,1t}\Rightarrow v_2^{\text{'}}=2.e^{-0,1t}>0$ nên tốc độ ngựa vằn tăng.

2.Sai. Quãng đường của báo đen đi là:
\({x_1} = \smallint {v_1}\left( t \right)dt = \smallint 15 \cdot {e^{ - 0,1t}}dt = - 150{e^{ - 0,1t}} + {C_1}\)\({x_1}\left( 0 \right) = - 150{e^0} + {C_1} = 0 \Leftrightarrow {C_1} = 150 \Rightarrow {x_1} = - 150{e^{ - 0,1t}} + 150\)Tương tự quãng đường của ngựa vằn đi là:
\({x_2}\left( t \right) = \smallint {v_2}\left( t \right)dt = \smallint \left( {20 - 20{e^{ - 0,1t}}} \right)dt = 20t + 200{e^{ - 0,1t}} + {C_2}\)\({x_2}\left( 0 \right) = 20.0 + 200.{e^0} + {C_2} = 40 \Leftrightarrow {C_2} = 40 - 200 = - 160\)\( \Rightarrow {x_2}\left( t \right) = 20t + 200{e^{ - 0,1t}} - 160\)Khoảng cách báo đen và ngựa vằn là
\({\rm{\Delta }}x = {x_2} - {x_1} = 20t + 200{e^{ - 0,1t}} - 160 + 150{e^{ - 0,1t}} - 150 = 20t + 250{e^{ - 0,1t}} - 310 = f\left( t \right)\)Xét \(f'\left( t \right) = 20 - 35{e^{ - 0,1t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - 0,1t}} = \frac{{20}}{{35}} \Leftrightarrow t = - 10{\rm{ln}}\left( {\frac{{20}}{{35}}} \right)\)
Khi đó \({\rm{min}}f\left( t \right) = f\left( { - 10{\rm{ln}}\frac{{20}}{{35}}} \right) \approx 1,92315\)
Khoảng cách min này đạt được khi $x_2^{\text{'}}=x_1^{\text{'}}\iff v_2=v_1$ điều này là sai
Vậy 2,3 sai.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; S