Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {0;0; - 1} \right),B\left( { - 1;1;0} \right),C\left( {1;0;1} \right)\).
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Phương pháp giải

1.Công thức tìm trung điểm

2.Từ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) tìm tạo độ D

3.Gọi H theo tham số và dùng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {BH} //\overrightarrow {BC} }\\{\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} }\end{array}} \right.\) tìm H

4.Gọi M theo tham số và tính \(P = 3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) tìm GTLN, GTNN.

Giải chi tiết

Đáp án: 1 - Đúng, 2 - Sai, 3 - Sai, 4 - Sai.

1) Toạ độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) là \(I\left( {\frac{{0 - 1}}{2};\frac{{0 + 1}}{2};\frac{{ - 1 + 0}}{2}} \right)\) hay I \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{1}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\).

Vậy 1 đúng.
2) Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\). Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 = 1 - x}\\{1 = 0 - y}\\{1 = 1 - z}\end{array} \Rightarrow D\left( {2; - 1;0} \right) \Rightarrow OD = \sqrt 5 } \right.\).
Vậy 2 sai.
3) Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) xuống cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\).
Suy ra \(\overrightarrow {BH} = \left( {x + 1;y - 1;z} \right)\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {BH} //\overrightarrow {BC} }\\{\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 1 = 2t;y - 1 = - t;z = t\;\;\;\left( 1 \right)}\\{\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0{\rm{\;\;\;\;(2)\;}}}\end{array}} \right.} \right.\)
(1) \( \Rightarrow H\left( {2t - 1; - t + 1;t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {2t - 1; - t + 1;t + 1} \right)\).
(2) \( \Rightarrow 2.\left( {2t - 1} \right) - \left( { - t + 1} \right) + t + 1 = 0 \Leftrightarrow 6t = 2 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow H\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right)\) nên \(a + b + c = \frac{2}{3}\).

Vậy 3 sai.
4) \(M\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AM} = \left( {x;y;z + 1} \right)}\\{\overrightarrow {BM} = \left( {x + 1;y - 1;z} \right)}\\{\overrightarrow {CM} = \left( {x - 1;y;z - 1} \right)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A{M^2} = {x^2} + {y^2} + {{(z + 1)}^2}}\\{B{M^2} = {{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {z^2}}\\{C{M^2} = {{(x - 1)}^2} + {y^2} + {{(z - 1)}^2}}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Rightarrow P = 3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\)\( = 3\left[ {{x^2} + {y^2} + {{(z + 1)}^2}} \right] + 2\left[ {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {z^2}} \right] - \left[ {{{(x - 1)}^2} + {y^2} + {{(z - 1)}^2}} \right]\)\( = 4{x^2} + 4{y^2} + 4{z^2} + 6x - 4y + 8z + 5 = {\left( {2x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {(2y - 1)^2} + {(2z + 2)^2} - \frac{9}{4} \ge - \frac{9}{4}\).
\( \Rightarrow {\rm{Min}}P = - \frac{9}{4} \Leftrightarrow x = - \frac{3}{4},y = \frac{1}{2},z = - 1\), khi đó \(M\left( { - \frac{3}{4};\frac{1}{2}; - 1} \right)\).
Vậy \(P = 4x - 2{\rm{y}} + {\rm{z}} = - 3 - 1 - 1 = - 5\).
Vậy 4 Sai.

Đán án cần chọn là: Đ: \(S:S:S\)