Kéo thả các số thích hợp vào các chỗ trống
Cho hình hộp \(ABCD \cdot A'B'C'D'\). Giả sử điểm \(M\) thuộc \(AC\), điểm \(N\) thuộc \(DC'\) và \(\overrightarrow {AM}  = x\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DN}  = y\overrightarrow {DC'} \). Có một cặp ( \(x;y\) ) sao cho \(MN//BD'\), khi đó giá trị của \(x\) là   ____ , \(y\) là ____

Đáp án đúng là: \(\frac{2}{3};\frac{1}{3}\)

Phương pháp giải

Biểu diễn \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BD'} \) qua \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BB'} \) từ đó dùng điều kiện 2 vetcơ cùng phương.

Giải chi tiết

Ta đặt: \(\overrightarrow {BA} = \vec a,\overrightarrow {BC} = \vec b,\overrightarrow {BB'} = \vec c\).
Khi đó, theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {BD'} = \vec a + \vec b + \vec c\).
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BM} \).
Từ \(\overrightarrow {DN} = y\overrightarrow {DC'} \), ta có \(\overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BD} = y\left( {\overrightarrow {BC'} - \overrightarrow {BD} } \right)\), suy ra:
\(\overrightarrow {BN} - \left( {\vec a + \vec b} \right) = y\left( {\vec b + \vec c - \vec a - \vec b} \right)\).
\(\overrightarrow {BN} = \left( {1 - y} \right)\vec a + \vec b + y\vec c\).
Từ \(\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AC} \), suy ra \(\overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BA} = x\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} } \right)\).
Vậy \(\overrightarrow {BM} - \vec a = x\left( {\vec b - \vec a} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \left( {1 - x} \right)\vec a + x\vec b\).
Do đó:
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BM} = \left( {1 - y} \right)\vec a + \vec b + y\vec c - \left( {1 - x} \right)\vec a - x\vec b\)

     \( = \left( {x - y} \right)\vec a + \left( {1 - x} \right)\vec b + y\vec c.\)

Điều kiện để là \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {BD'} \) hay
\(\left( {x - y} \right)\vec a + \left( {1 - x} \right)\vec b + y\vec c = k\left( {\vec a + \vec b + \vec c} \right)\)

    \(\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x - y} \right)\vec a + \left( {1 - x} \right)\vec b + y\vec c = k\vec a + k\vec b + k\vec c\# \left( * \right)}\end{array}\)

Do \(\vec a,\vec b,\vec c\) không cùng phương nên từ (*) suy ra:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = x - y}\\{k = 1 - x}\\{k = y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 0}\\{x + y = 1}\\{k = y}\end{array} \Leftrightarrow \left( {x;y;k} \right) = \left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)} \right.} \right.\).
Đáp án: \(\frac{2}{3};\frac{1}{3}\)

Đáp án cần chọn là: \(\frac{2}{3}\); \(\frac{1}{3}\)