Một tiệm nước trái cây có kế hoạch làm hai loại nước trái cây để bán cho khách hàng mỗi ngày.

Biết rằng mỗi loại nước trái cây đều cần ba loại trái cây là táo, cam và dứa.

Để làm \(1\) kg nước trái cây loại I cần \(2\) kg táo, \(1\) kg cam và \(4\) kg dứa.

Để làm \(1\) kg nước trái cây loại II cần \(3\) kg táo, \(4\) kg cam và \(1\) kg dứa.

Biết rằng trong một ngày, cửa hàng có thể sử dụng tối đa 120 kg táo, 120 kg cam và 150 kg dứa.

Giả sử lợi nhuận của mỗi kg nước bán ra của hai loại đều bằng \(70{\mkern 1mu} 000\) đồng/kg,

và tiệm có thể bán hết lượng nước sản xuất trong một ngày.

Khi đó, lợi nhuận lớn nhất trong một ngày của tiệm là:

Phương pháp giải:

Đưa về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giải chi tiết:

Gọi số kg nước trái cây loại I và loại II mà tiệm sẽ sản xuất trong một ngày lần lượt là x, y \((x,y \ge 0)\).

Khi đó, lượng táo, cam và dứa mà cửa hàng sẽ sử dụng lần lượt là:

                                 \[2x + 3y,\quad x + 4y,\quad 4x + y\quad ({\rm{kg}})\]

Do trong một ngày, cửa hàng có thể sử dụng tối đa 120 kg táo, 120 kg cam và 150 kg dứa,

nên ta có hệ bất phương trình:

          \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y \le 120}\\{x + 4y \le 120}\\{4x + y \le 150}\\{x \ge 0,\;y \ge 0}\end{array}} \right.\]

Khi đó, biểu diễn hệ bất phương trình trên trên hệ toạ độ Oxy, ta được miền nghiệm của hệ là miền đa giác với các đỉnh O ( 0 ; 0 ) , A ( 0 ; 30 ) , B ( 24 ; 24 ) , C ( 33 ; 18 ) , D ( 37 , 5 ; 0 ) .

Lợi nhuận của quán trong một ngày sẽ là L ( x ; y ) = 70 000 ( x + y ) (đồng).

Khi đó, ta xác định được lợi nhuận tối đa của quán trong một ngày là 3 570 000 đồng khi lựa chọn sản xuất 33 kg nước loại I và 18 kg nước loại II.