Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2026 có đáp án (Đề số 10)

Phương pháp giải

Xem lại cách xác định mệnh đề phủ định.

Giải chi tiết

Phương pháp giải:

Đưa về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giải chi tiết:

Gọi số kg nước trái cây loại I và loại II mà tiệm sẽ sản xuất trong một ngày lần lượt là x, y \((x,y \ge 0)\).

Khi đó, lượng táo, cam và dứa mà cửa hàng sẽ sử dụng lần lượt là:

                                 \[2x + 3y,\quad x + 4y,\quad 4x + y\quad ({\rm{kg}})\]

Do trong một ngày, cửa hàng có thể sử dụng tối đa 120 kg táo, 120 kg cam và 150 kg dứa,

nên ta có hệ bất phương trình:

          \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y \le 120}\\{x + 4y \le 120}\\{4x + y \le 150}\\{x \ge 0,\;y \ge 0}\end{array}} \right.\]

Khi đó, biểu diễn hệ bất phương trình trên trên hệ toạ độ Oxy, ta được miền nghiệm của hệ là miền đa giác với các đỉnh O ( 0 ; 0 ) , A ( 0 ; 30 ) , B ( 24 ; 24 ) , C ( 33 ; 18 ) , D ( 37 , 5 ; 0 ) .

Lợi nhuận của quán trong một ngày sẽ là L ( x ; y ) = 70 000 ( x + y ) (đồng).

Khi đó, ta xác định được lợi nhuận tối đa của quán trong một ngày là 3 570 000 đồng khi lựa chọn sản xuất 33 kg nước loại I và 18 kg nước loại II.

Phương pháp giải:

Sử dụng các phương trình tính độ dài đáy và chiều cao của tam giác.

Giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng AB đi qua \(A(3;4)\), nhận

\(\overrightarrow {AB} = ( - 1;1)\) làm vectơ chỉ phương là:

                                   \[1(x - 3) + 1(y - 4) = 0 \Leftrightarrow x + y - 7 = 0.\]

Khoảng cách từ điểm \(C\) đến đường thẳng AB là:

       \[d(C,AB) = \frac{{|4 + 6 - 7|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}.\]

Độ dài \(AB = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \).

Diện tích tam giác ABC là:

  \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}{\mkern 1mu} AB \cdot d(C,AB) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt 2 \cdot \frac{3}{{\sqrt 2 }} = \frac{3}{2}.\]

Do \(G\) là trọng tâm tam giác ABC nên:

                 \[{S_{BCG}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}.\]

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình lượng giác đã cho về dạng các phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết:

Biến đổi phương trình đã cho:

         \[\frac{{3{{\cos }^2}x - \sin x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} - \frac{{2 - \cos x}}{{{{\cos }^2}x + \sin x}} = 2\]

    \[ \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x - 2 - \sin x{\cos ^2}x - \sin x\cos x - \cos x{\cos ^2}x + \sin x = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + {\cos ^2}x - 1 - \sin x{\cos ^2}x - \sin x\cos x - \cos x{\cos ^2}x + \sin x = 0\]

   \[ \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x - \sin x{\cos ^2}x - \sin x\cos x - \cos x{\cos ^2}x + \sin x = 0\]

              \[ \Leftrightarrow {\cos ^2}x(1 - \sin x - \cos x) + \sin x(1 - \sin x - \cos x) = 0\]

                            \[ \Leftrightarrow ({\cos ^2}x + \sin x)(1 - \sin x - \cos x) = 0\]

    \[ \Leftrightarrow ( - 2{\sin ^2}x + \sin x + 1)\left( {1 - \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (\sin x - 1)(2\sin x + 1)\left( {1 - \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0\]

                  \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = 1}\\{\sin x = - \frac{1}{2}}\\{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right.\]

    \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = k2\pi }\end{array}} \right.\quad (k \in \mathbb{Z})\]

Đếm nghiệm trong \((0;2024\pi )\):

                  \[0 < \frac{\pi }{2} + k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1012{\rm{ nghi?m}}\]

               \[0 < \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1012{\rm{ nghi?m}}\]

             \[0 < \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1012{\rm{ nghi?m}}\]

                               \[0 < k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1011{\rm{ nghi?m}}\]

Tổng số nghiệm là:

                                               \[1012 + 1012 + 1012 + 1011 = 4047.\]

Phương pháp giải:

Đưa số thập phân đã cho về dạng tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.

Giải chi tiết:

Ta có:

                       \[0,365365365 \ldots = 0,365 + 0,000365 + 0,000000365 + \cdots \]

   \[ = 365 \cdot {10^{ - 3}} + 365 \cdot {10^{ - 6}} + 365 \cdot {10^{ - 9}} + \cdots \]

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với:

                                 \[{u_1} = 365 \cdot {10^{ - 3}},\quad q = {10^{ - 3}}.\]

Do đó:

          \[0,365365365 \ldots = \frac{{365 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{1 - {{10}^{ - 3}}}} = \frac{{365}}{{999}}.\]

Suy ra:

                                                          \[a = 365,\quad b = 999.\]

Vậy:

                                                   \[T = a + b = 365 + 999 = 1364.\]

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức về dãy số.

Giải chi tiết:

Quy ước ``giá trị'' của những viên bi tại ô thứ nhất là \({u_1} = 1\).

Do có thể tùy ý di chuyển các viên bi giữa ô thứ nhất và ô thứ hai nên

``giá trị'' của những viên bi tại ô thứ hai là:

                                                            \[{u_2} = {u_1} = 1.\]

Từ ô thứ ba trở đi, nếu muốn đặt một con bi vào ô đó thì phải lấy hai viên bi từ hai ô ngay trước đó,

nên ``giá trị'' của viên bi tại ô thứ \(i\) là:

                                     \[{u_i} = {u_{i - 1}} + {u_{i - 2}}\quad (i \ge 3).\]

Suy ra dãy \(({u_i})\) là dãy Fibonacci:

                                                      \[{u_1} = 1,\quad {u_2} = 1,\]

   \[{u_3} = 2,\quad {u_4} = 3,\quad {u_5} = 5,\quad {u_6} = 8,\quad {u_7} = 13,\quad {u_8} = 21,\quad {u_9} = 34,\quad {u_{10}} = 55.\]

Do ``giá trị'' của mỗi viên bi tại ô thứ nhất là \({u_1} = 1\) nên

cần tối thiểu 55 viên bi ở ô thứ nhất để có thể đổi được \(1\) viên bi ở ô thứ mười.

Đáp án: D.

Phương pháp giải:

Thêm bớt các đại lượng để sử dụng phương pháp liên hợp.

Giải chi tiết:

Ta có:

                  \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} - \sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}}} \right)\]

           \[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} - 3n - (\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}} - 3n)} \right).\]

Xét từng giới hạn.

\textbf{Giới hạn thứ nhất:}

\[\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} - 3n = \frac{{9{n^2} + 5n + 4 - {{(3n)}^2}}}{{\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} + 3n}} = \frac{{5n + 4}}{{\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} + 3n}}.\]

Chia cả tử và mẫu cho \(n\):

       \[ = \frac{{5 + \frac{4}{n}}}{{\sqrt {9 + \frac{5}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}} + 3}} \Leftrightarrow \frac{5}{{3 + 3}} = \frac{5}{6}.\]

\textbf{Giới hạn thứ hai:}

      \[\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}} - 3n = \frac{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8 - {{(3n)}^3}}}{{{{(\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}})}^2} + 3n\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}} + {{(3n)}^2}}}.\]

         \[ = \frac{{4{n^2} + 9n + 8}}{{{{(\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}})}^2} + 3n\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}} + 9{n^2}}}.\]

Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\):

                \[ = \frac{{4 + \frac{9}{n} + \frac{8}{{{n^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{27 + \frac{4}{n} + \frac{9}{{{n^2}}} + \frac{8}{{{n^3}}}}}} \right)}^2} + 3\sqrt[3]{{27 + \frac{4}{n} + \frac{9}{{{n^2}}} + \frac{8}{{{n^3}}}}} + 9}}.\]

Lấy giới hạn:

                   \[ \Leftrightarrow \frac{4}{{{3^2} + 3 \cdot 3 + 9}} = \frac{4}{{27}}.\]

Vậy:

                  \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} - \sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}}} \right) = \frac{5}{6} - \frac{4}{{27}} = \frac{{37}}{{54}}.\]

Suy ra:

                                      \[a = 37,\quad b = 54 \Rightarrow S = ab = 1998.\]