Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2026 có đáp án (Đề số 10)

Câu 1

Cho mệnh đề:

\[\forall \varepsilon > 0,\;\exists {n_0} \in {\mathbb{N}^*},\;\forall n > {n_0},\;\left| {\frac{1}{n}} \right| < \varepsilon .\]

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là mệnh đề phủ định của mệnh đề trên?

A. $\forall \varepsilon \le 0,\;\exists {n_0} \notin {\mathbb{N}^*},\;\forall n \le {n_0},\;\left| {\frac{1}{n}} \right| \ge \varepsilon .$

B. $\forall \varepsilon \le 0,\;\exists {n_0} \notin {\mathbb{N}^*},\;\forall n \le {n_0},\;\left| {\frac{1}{n}} \right| < \varepsilon .$

C. $\exists \varepsilon > 0,\;\forall {n_0} \in {\mathbb{N}^*},\;\exists n > {n_0},\;\left| {\frac{1}{n}} \right| \ge \varepsilon .$

D. $\exists \varepsilon \le 0,\;\forall {n_0} \in {\mathbb{N}^*},\;\exists n \le {n_0},\;\left| {\frac{1}{n}} \right| \ge \varepsilon .$

Lời giải

Phương pháp giải

Xem lại cách xác định mệnh đề phủ định.

Giải chi tiết

Cách xác định mệnh đề phủ định: Thay dấu ∀ thành dấu ∃ và ngược lại, đồng thời đối với mệnh đề cuối cùng không đi cùng dấu ∀ và ∃ , lấy mệnh đề phủ định của mệnh đề đó.

Câu 2

Một tiệm nước trái cây có kế hoạch làm hai loại nước trái cây để bán cho khách hàng mỗi ngày.

Biết rằng mỗi loại nước trái cây đều cần ba loại trái cây là táo, cam và dứa.

Để làm $1$ kg nước trái cây loại I cần $2$ kg táo, $1$ kg cam và $4$ kg dứa.

Để làm $1$ kg nước trái cây loại II cần $3$ kg táo, $4$ kg cam và $1$ kg dứa.

Biết rằng trong một ngày, cửa hàng có thể sử dụng tối đa 120 kg táo, 120 kg cam và 150 kg dứa.

Giả sử lợi nhuận của mỗi kg nước bán ra của hai loại đều bằng $70{\mkern 1mu} 000$ đồng/kg,

và tiệm có thể bán hết lượng nước sản xuất trong một ngày.

Khi đó, lợi nhuận lớn nhất trong một ngày của tiệm là:

A. 3 780 000đ

B. 3 570 000đ

C. 3 360 000đ

D. 2 650 000đ

Lời giải

Phương pháp giải:

Đưa về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giải chi tiết:

Gọi số kg nước trái cây loại I và loại II mà tiệm sẽ sản xuất trong một ngày lần lượt là x, y $(x,y \ge 0)$.

Khi đó, lượng táo, cam và dứa mà cửa hàng sẽ sử dụng lần lượt là:

\[2x + 3y,\quad x + 4y,\quad 4x + y\quad ({\rm{kg}})\]

Do trong một ngày, cửa hàng có thể sử dụng tối đa 120 kg táo, 120 kg cam và 150 kg dứa,

nên ta có hệ bất phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y \le 120}\\{x + 4y \le 120}\\{4x + y \le 150}\\{x \ge 0,\;y \ge 0}\end{array}} \right.\]

Khi đó, biểu diễn hệ bất phương trình trên trên hệ toạ độ Oxy, ta được miền nghiệm của hệ là miền đa giác với các đỉnh O ( 0 ; 0 ) , A ( 0 ; 30 ) , B ( 24 ; 24 ) , C ( 33 ; 18 ) , D ( 37 , 5 ; 0 ) .

Lợi nhuận của quán trong một ngày sẽ là L ( x ; y ) = 70 000 ( x + y ) (đồng).

Khi đó, ta xác định được lợi nhuận tối đa của quán trong một ngày là 3 570 000 đồng khi lựa chọn sản xuất 33 kg nước loại I và 18 kg nước loại II.

Câu 3

Trong hệ tọa độ Descartes, cho ba điểm $A(3;4)$, $B(2;5)$, $C(4;6)$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó, diện tích tam giác BCG bằng:

A. 1

B. 1/2

C. 1/3

D. 1/6

Lời giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các phương trình tính độ dài đáy và chiều cao của tam giác.

Giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng AB đi qua $A(3;4)$, nhận

$\overrightarrow {AB} = ( - 1;1)$ làm vectơ chỉ phương là:

\[1(x - 3) + 1(y - 4) = 0 \Leftrightarrow x + y - 7 = 0.\]

Khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng AB là:

\[d(C,AB) = \frac{{|4 + 6 - 7|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}.\]

Độ dài $AB = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2}} = \sqrt 2 $.

Diện tích tam giác ABC là:

\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}{\mkern 1mu} AB \cdot d(C,AB) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt 2 \cdot \frac{3}{{\sqrt 2 }} = \frac{3}{2}.\]

Do $G$ là trọng tâm tam giác ABC nên:

\[{S_{BCG}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}.\]

Câu 4

Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn

\[C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^{{\kern 1pt} n - 1} + C_n^n = 4095.\]

Giá trị của biểu thức

\[S = {(C_n^1)^2} + {(C_n^2)^2} + {(C_n^3)^2} + \cdots + {(C_n^n)^2}\] bằng:

A. 2,704,155.

B. 2,496,143.

C. 10,400,599.

D. 705,431.

Lời giải

Phương pháp giải:

Vận dụng khai triển Newton.

Giải chi tiết:

Xét khai triển Newton:

\[{(1 + x)^n} = C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + \cdots + C_n^n{x^0}{\rm{ }}1\]

\[{(x + 1)^n} = C_n^0{x^0} + C_n^1{x^1} + \cdots + C_n^n{x^n}{\rm{ }}2\]

Cho $x = 1$, khi đó từ (1) ta được:

\[{2^n} = C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n.\]

Suy ra:

\[C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^{n - 1} + C_n^n = {2^n} - 1 = 4095 \Rightarrow {2^n} = 4096 \Rightarrow n = 12.\]

Nhân hai vế của (1) và (2) ta được:

${(1 + x)}^{2 n} = (C_{n}^{0} x^{n} + C_{n}^{1} x^{n - 1} + \dots + C_{n}^{n}) (C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + \dots + C_{n}^{n} x^{n}) .$

So sánh hệ số của ${x^n}$ hai vế, ta có:

\[C_{2n}^n = {(C_n^0)^2} + {(C_n^1)^2} + \cdots + {(C_n^n)^2}.\]

Do đó:

\[S = C_{2n}^n - 1.\]

Với $n = 12$, suy ra:

\[S = C_{24}^{12} - 1 = 2{\mkern 1mu} 704{\mkern 1mu} 155.\]

Câu 5

Số nghiệm của phương trình

\[\frac{{3{{\cos }^2}x - \sin x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} - \frac{{2 - \cos x}}{{{{\cos }^2}x + \sin x}} = 2\]

trong khoảng $(0;2024\pi )$ bằng:

A. 4047.

B. 4048.

C. 3035.

D. 3036.

Lời giải

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình lượng giác đã cho về dạng các phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết:

Biến đổi phương trình đã cho:

\[\frac{{3{{\cos }^2}x - \sin x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} - \frac{{2 - \cos x}}{{{{\cos }^2}x + \sin x}} = 2\]

\[ \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x - 2 - \sin x{\cos ^2}x - \sin x\cos x - \cos x{\cos ^2}x + \sin x = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + {\cos ^2}x - 1 - \sin x{\cos ^2}x - \sin x\cos x - \cos x{\cos ^2}x + \sin x = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x - \sin x{\cos ^2}x - \sin x\cos x - \cos x{\cos ^2}x + \sin x = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}x(1 - \sin x - \cos x) + \sin x(1 - \sin x - \cos x) = 0\]

\[ \Leftrightarrow ({\cos ^2}x + \sin x)(1 - \sin x - \cos x) = 0\]

\[ \Leftrightarrow ( - 2{\sin ^2}x + \sin x + 1)\left( {1 - \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (\sin x - 1)(2\sin x + 1)\left( {1 - \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = 1}\\{\sin x = - \frac{1}{2}}\\{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = k2\pi }\end{array}} \right.\quad (k \in \mathbb{Z})\]

Đếm nghiệm trong $(0;2024\pi )$:

\[0 < \frac{\pi }{2} + k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1012{\rm{ nghi?m}}\]

\[0 < \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1012{\rm{ nghi?m}}\]

\[0 < \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1012{\rm{ nghi?m}}\]

\[0 < k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1011{\rm{ nghi?m}}\]

Tổng số nghiệm là:

\[1012 + 1012 + 1012 + 1011 = 4047.\]

Câu 6

Biết rằng số thập phân vô hạn tuần hoàn \[0,365365365 \ldots \]có thể biểu diễn dưới dạng phân số\[0,365365365 \ldots = \frac{a}{b},\] với $a,b > 0$, $(a;b) = 1$. Tính giá trị của biểu thức \[T = a + b.\]

(Điền đáp án vào ô trống)

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý