Số nghiệm của phương trình

         \[\frac{{3{{\cos }^2}x - \sin x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} - \frac{{2 - \cos x}}{{{{\cos }^2}x + \sin x}} = 2\]

trong khoảng \((0;2024\pi )\) bằng:

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình lượng giác đã cho về dạng các phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết:

Biến đổi phương trình đã cho:

         \[\frac{{3{{\cos }^2}x - \sin x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} - \frac{{2 - \cos x}}{{{{\cos }^2}x + \sin x}} = 2\]

    \[ \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x - 2 - \sin x{\cos ^2}x - \sin x\cos x - \cos x{\cos ^2}x + \sin x = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + {\cos ^2}x - 1 - \sin x{\cos ^2}x - \sin x\cos x - \cos x{\cos ^2}x + \sin x = 0\]

   \[ \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x - \sin x{\cos ^2}x - \sin x\cos x - \cos x{\cos ^2}x + \sin x = 0\]

              \[ \Leftrightarrow {\cos ^2}x(1 - \sin x - \cos x) + \sin x(1 - \sin x - \cos x) = 0\]

                            \[ \Leftrightarrow ({\cos ^2}x + \sin x)(1 - \sin x - \cos x) = 0\]

    \[ \Leftrightarrow ( - 2{\sin ^2}x + \sin x + 1)\left( {1 - \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (\sin x - 1)(2\sin x + 1)\left( {1 - \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0\]

                  \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = 1}\\{\sin x = - \frac{1}{2}}\\{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right.\]

    \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = k2\pi }\end{array}} \right.\quad (k \in \mathbb{Z})\]

Đếm nghiệm trong \((0;2024\pi )\):

                  \[0 < \frac{\pi }{2} + k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1012{\rm{ nghi?m}}\]

               \[0 < \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1012{\rm{ nghi?m}}\]

             \[0 < \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1012{\rm{ nghi?m}}\]

                               \[0 < k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1011{\rm{ nghi?m}}\]

Tổng số nghiệm là:

                                               \[1012 + 1012 + 1012 + 1011 = 4047.\]